Đáp án:

Câu 25: \(S = \left( {2;3} \right)\).

Câu 26: \(S = \left\{ {1;2} \right\}\).

Câu 27: Vô nghiệm

Giải thích các bước giải:

Câu 25:

\(\begin{array}{l}\sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} }  + \sqrt {x + 3 - 4\sqrt {x - 1} }  = 1\,\,\left( {x \ge 1} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1}  + 1}  + \sqrt {x - 1 - 4\sqrt {x - 1}  + 4}  = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  - 2} \right)}^2}}  = 1\,\,\left( {x \ge 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1}  - 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1}  - 2} \right| = 1\,\,\,\left( {x \ge 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1}  - 1} \right| + \left| {2 - \sqrt {x - 1} } \right| = 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}VT = \left| {\sqrt {x - 1}  - 1} \right| + \left| {2 - \sqrt {x - 1} } \right|\\\,\,\,\,\,\,\, \ge \left| {\sqrt {x - 1}  - 1 + 2 - \sqrt {x - 1} } \right| = 1\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right)\left( {2 - \sqrt {x - 1} } \right) > 0\\ \Leftrightarrow 1 < \sqrt {x - 1}  < 2\\ \Leftrightarrow 1 < x - 1 < 2\\ \Leftrightarrow 2 < x < 3\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left( {2;3} \right)\).

Câu 26:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^3} + x - 1}  - 2{x^2} + 3x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^3} + x - 1}  - 2{x^2} + 2x + x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^3} + x - 1}  - 2x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + x - 1}  - 2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\sqrt {{x^3} + x - 1}  = 2x - 1\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải (*):

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\{x^3} + x - 1 = 4{x^2} - 4x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\{x^3} - 4{x^2} + 5x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\x = 2\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1;2} \right\}\).

Câu 27:

\(6\sqrt {x + 3}  + 2\sqrt {3 - 2x}  = 16 - x\,\,\left( { - 3 \le x \le \frac{3}{2}} \right)\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x + 3} \\v = \sqrt {3 - 2x} \end{array} \right.\,\,\left( {u,\,\,v \ge 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^2} = x + 3\\{v^2} = 3 - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^2} + {v^2} =  - x + 6\\2{u^2} + {v^2} = 9\end{array} \right.\)

Khi đó phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,6u + 2v = 10 + {u^2} + {v^2}\\ \Leftrightarrow {u^2} + {v^2} - 6u - 2v + 10 = 0\\ \Leftrightarrow {u^2} - 6u + 9 + {v^2} - 2v + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {u - 3} \right)^2} + {\left( {v - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u - 3 = 0\\v - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3\\v = 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Với \(u = 3 \Rightarrow \sqrt {x + 3}  = 3 \Leftrightarrow x = 6\,\,\left( {ktm} \right)\).

Với \(v = 1 \Rightarrow \sqrt {3 - 2x}  = 1 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)\)

Thử lại: Với \(x = 1\) thì \(\begin{array}{l}VT = 6.2 + 2.1 = 14\\VP = 16 - 1 = 15\end{array}\) \( \Rightarrow \) Loại.

Vậy phương trình vô nghiệm.