Cho x, y là 2 số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}\) A.\(2\sqrt{2}\) B.\(2\sqrt{5}\) C.\(7\sqrt{2}\) D.\(2\sqrt{3}\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:Áp dụng 2 lần bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương, ta có \(\begin{align} & A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}\ge \sqrt{2.x.\frac{1}{y}}+\sqrt{2.y.\frac{1}{x}} \\ & =\sqrt{2}\left( \sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}} \right)\ge \sqrt{2}.2\sqrt{\sqrt{\frac{x}{y}}.\sqrt{\frac{y}{x}}}=2\sqrt{2} \\ \end{align}\) Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\frac{1}{y}>0 \\ & y=\frac{1}{x}>0 \\ & \sqrt{\frac{x}{y}}=\sqrt{\frac{y}{x}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=1\) Vậy GTNN của A là \(2\sqrt{2}\), đạt được khi x = y = 1 Chọn A