Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\) thỏa mãn \(f(1)=\frac{3}{5},\,\,\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'(x) \right]}^{2}}dx=\frac{4}{9}}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f(x)dx=\frac{37}{180}}\). Tích phân \(\int\limits

camellia.ks0809

2 năm trước

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\) thỏa mãn \(f(1)=\frac{3}{5},\,\,\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'(x) \right]}^{2}}dx=\frac{4}{9}}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f(x)dx=\frac{37}{180}}\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ f(x)-1 \right]dx=}\) ?
A. \(\frac{2}{30}\).
B.\(-\frac{2}{30}\).
C. \(-\frac{1}{10}\).
D. \(\frac{1}{10}\).

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 23 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Luhan204

Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:Ta có: \(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f(x)dx=\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{f(x)d{{x}^{4}}=\frac{1}{4}\left. {{x}^{4}}f(x) \right|_{0}^{1}-}\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f'(x)dx}=\frac{f(1)}{4}-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f'(x)dx}}\)
Mà \(f(1)=\frac{3}{5}\,\,,\,\,\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f(x)dx=\frac{37}{180}}\) suy ra \(\frac{37}{180}=\frac{3}{20}-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f'(x)dx}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f'(x)dx}=-\frac{2}{9}\)
Xét \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'(x)+k{{x}^{4}} \right]}^{2}}dx=}\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'(x) \right]}^{2}}dx}+2k\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f'(x)dx+{{k}^{2}}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{8}}dx}}\)\(=\frac{4}{9}+2k.\frac{-2}{9}+{{k}^{2}}.\frac{1}{9}=\frac{{{k}^{2}}}{9}-\frac{4k}{9}+\frac{4}{9}=0\Rightarrow k=2\)
Khi đó, \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'(x)+2{{x}^{4}} \right]}^{2}}dx=}0\Rightarrow f'(x)+2{{x}^{4}}=0\Leftrightarrow f'(x)=-2{{x}^{4}}\Rightarrow f(x)=-\frac{2}{5}{{x}^{5}}+C\)
Mà \(f(1)=\frac{3}{5}\Rightarrow -\frac{2}{5}{{.1}^{5}}+C=\frac{3}{5}\Rightarrow C=1\Rightarrow f(x)-1=-\frac{2}{5}{{x}^{5}}\)
\(\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left[ f(x)-1 \right]dx=}\int\limits_{0}^{1}{\left[ -\frac{2}{5}{{x}^{5}} \right]dx=-\left. \frac{1}{15}{{x}^{6}} \right|_{0}^{1}=-\frac{1}{15}}\)
Chọn: B

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(a;0;0),\,\,B(0;b;0),\,\,C(0;0;c)\) với a, b, c là những số thực dương thay đổi sao cho \({{a}^{2}}+4{{b}^{2}}+16{{c}^{2}}=49\). Tính tổng \(F={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\) sao cho khoảng cách từ O đến (ABC) là lớn nhất.
A. \(F=\frac{51}{5}\).
B.\(F=\frac{51}{4}\).
C. \(F=\frac{49}{5}\).
D. \(\frac{49}{4}\).

Thấu kính có độ tụ D = -5dp. Đó là:
A.Thấu kính phân kì có tiêu cự f = -20cm
B.Thấu kính hội tụ có tiêu cự f = + 5cm
C.Thấu kinh hội tụ có tiêu cự f = + 20 cm
D.Thấu kính phân kì có tiêu cự f = - 5 cm

Một vật dao động điều hòa với biên độ 6cm, tại li độ -2cm thì tỉ số giữa thế năng và động năng của vật có giá trị nào sau đây?
A.2/6
B.1/8.
C.3.
D.8/9.

Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m = 0,1kg và lò xo có độ cứng k = 40N/m treo thẳng đứng. Cho con lắc dao động với biên độ 3cm. Lấy g = 10 m/s2. Lực cực đại mà lò xo tác dụng vào điểm treo là:
A.0,2N.
B.0,1N
C.2,2N
D. 1N

Trong một dao động điều hòa có phương trình: \(x = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\), rad/s là đơn vị của đại lượng nào?
A.Chu kì dao động T.
B.Tần số góc ω.
C.Biên độ A
D.Pha dao động (ωt+φ)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 1, BC = 2, AA’ = 3. Mặt phẳng (P) thay đổi và luôn đi qua C’, mặt phẳng (P) cắt các tia AB, AD, AA’ lần lượt tại E, F, G (khác A). Tính tổng \(T=AE+AF+AG\) sao cho thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất.
A.15
B.16
C.17
D.18

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(4y={{x}^{2}}\) và \(y=x\). Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục hoành một vòng bằng
A.\(\frac{128}{30}\pi \).
B. \(\frac{128}{15}\pi \).
C.\(\frac{32}{15}\pi \).
D. \(\frac{129}{30}\pi \).

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}-9{{m}^{2}}x\) nghịch biến trên khoảng (0; 1).
A. \(m\ge \frac{1}{3}\) hoặc \(m\le -1\).
B.\(m>\frac{1}{3}\).
C. \(m<-1\).
D. \(-1<m<\frac{1}{3}\).

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC bằng
A. \(a\).
B. \(\sqrt{2}a\).
C. \(\frac{\sqrt{2}a}{2}\).
D. \(\frac{\sqrt{3}a}{2}\).

Hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và có đúng ba điểm cực trị là -2, -1, 0. Hỏi hàm số \(y=f({{x}^{2}}-2x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A.5
B.3
C.2
D.4

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến