Đáp án:
B. 3
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l} g(x) = f({x^2} - 8x + m)\\ \Rightarrow g'(x) = (2x - 8)f'({x^2} - 8x + m) \end{array}$
Để $g(x)$ đồng biến trên $(4; +∞)$
thì $(2x - 8)f'({x^2} - 8x + m) \ge 0\text{ trên }(4; + \infty )$
Vì $x∈(4; +∞)$ nên $2x-8>0$
Khi đó ta cần:
$f'({x^2} - 8x + m) \ge 0$ trên $(4; + \infty )$
$\begin{array}{l} f'(a) = {(a - 1)^2}({a^2} - 2a) \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2a \ge 0;\,a \ne 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a \ge 2\\ a \le 0 \end{array} \right. \end{array}$
Ta có:
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} - 8x + m \ge 2\\ {x^2} - 8x + m \le 0 \end{array} \right.\text{ trên }(4;\, + \infty )\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} - 8x \ge 2 - m\,\,\,(1)\\ {x^2} - 8x \le - m \end{array} \right.\text{ trên }(4;\, + \infty )\\ \text{Xét }h(x) = {x^2} - 8x\text{ trên }(4;\, + \infty )\\\text{ là nửa phải của parabol với đỉnh }I(4, - 16)\\\text { bề lõm parabol phía dưới (như hình vẽ)}\\ \Rightarrow \text{ chỉ xảy ra }(1)\text{ vì }h(x)\text{ đi ra vô cùng không nhỏ hơn giá trị nào được}\\ \text{Khi đó: }2 - m \le - 16\\ \Leftrightarrow m \ge 18 \end{array}$
Vậy $m∈ \{18,19,20\}$.
