Đáp án:
D
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right)\\P = {\left( {2{{\log }_{\frac{a}{b}}}a} \right)^2} + \frac{3}{{{{\log }_{\frac{a}{b}}}b}}\\P = 4\log _{\frac{a}{b}}^2a + \frac{3}{{{{\log }_{\frac{a}{b}}}a - 1}}\end{array}\)
Do \(a > b > 1 \Rightarrow \frac{a}{b} > 1 \Rightarrow {\log _{\frac{a}{b}}}b > {\log _{\frac{a}{b}}}1 = 0\).
Mà \({\log _{\frac{a}{b}}}a = 1 + {\log _{\frac{a}{b}}}b \Rightarrow {\log _{\frac{a}{b}}}a > 1\)
Đặt \(t = {\log _{\frac{a}{b}}}a\,\,\left( {t > 0} \right)\), ta có \(P = 4{t^2} + \dfrac{3}{{t - 1}}\,\,\left( {t > 1} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}P' = 8t - \dfrac{3}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 8t{\left( {t - 1} \right)^2} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 8{t^3} - 16{t^2} + 8t - 3 = 0\\ \Leftrightarrow t = \dfrac{3}{2}\end{array}\)
BBT:
(Tham khảo hình vẽ bên dưới)
Từ BBT \( \Rightarrow \min P = 15 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2} \Leftrightarrow {\log _{\frac{a}{b}}}a = \dfrac{3}{2}\).
Chọn D
