Đáp án:
a) \(m<2\)
b) \(m = 0\)
Giải thích các bước giải:
a) Để phương trình $x^2-2x+m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta ' = 1 - m + 1 = 2 - m > 0 \Leftrightarrow m < 2\)
b) Với \(m < 2\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) theo vi-et:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\)
Từ đẳng thức bài cho ta thấy:
\({x_1},{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\)
Khi đó:
\(\dfrac{{x_1^2}}{{{x_2}}} + \dfrac{{x_2^2}}{{{x_1}}} = - 14 \Leftrightarrow \dfrac{{x_1^3 + x_2^3}}{{{x_1}{x_2}}} = - 14\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} = - 14\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{2^3} - 3.\left( {m - 1} \right).2}}{{m - 1}} = - 14\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{8 - 6m + 6}}{{m - 1}} = - 14 \Leftrightarrow 14 - 6m = - 14m + 14 \Leftrightarrow m = 0\) (TM )
Vậy \(m = 0\).
