Đáp án:
${m^2} + {n^2} = 20.$
Giải thích các bước giải:
\[\begin{array}{l}\overrightarrow a = \left( {2; - 3} \right),\,\,\,\overrightarrow b = \left( { - 1;\,\,4} \right),\,\,\overrightarrow u = \left( {m - 1;\,\,n + 2} \right)\\m + n = 6 \Rightarrow n = 6 - m\\ \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {m - 1;\,\,8 - m} \right)\\ \Rightarrow 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b = 2\left( {2; - 3} \right) + 3\left( { - 1;\,\,4} \right) = \left( {1;\,\,6} \right).\end{array}\]
Ta có: \(\overrightarrow v = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b \) cùng phương với \(\overrightarrow u = \left( {m - 1;\,\,n + 2} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow u = k\overrightarrow v \,\,\,\,\left( {k > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1;\,\,8 - m} \right) = k\left( {1;\,\,6} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 = k\\8 - m = 6k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - k = 1\\m + 6k = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\k = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow n = 6 - m = 6 - 2 = 4.\\ \Rightarrow {m^2} + {n^2} = {2^2} + {4^2} = 20.\end{array}\)
