Đáp án:
\(\begin{array}{l}a)\,\,\dfrac{{{a^3}\sqrt {14} }}{6}\\b)\,\,\dfrac{{{a^3}\sqrt {14} }}{{24}}\end{array}\)
Giải thích các bước giải:
a) Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow SO \bot OA \Rightarrow \Delta SOA\) vuông tại O.
ABCD là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOA có:
\(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}\) .
\({S_{ABCD}} = {a^2}\).
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {14} }}{6}\).
b) Hình vuông ABCD cạnh a có bán kính đường tròn nội tiếp \(r = \dfrac{a}{2}\).
Do đó hình nón có bán kính đáy \(r = \dfrac{a}{2}\) và chiều cao \(h = SO = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}\).
Vậy thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}.\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {14} }}{{24}}\).
