Giải thích các bước giải:
a) Ta có $AB$ và $AC$ là tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của $(O)$
$\Rightarrow AB⊥OB$ và $AC⊥OC$
Xét $ AOB \text{ và } ΔAOC$ có:
$OB=OC(=R)$
$\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o$
$OA$ chung
$\Rightarrow ΔAOB=ΔAOC$ (ch-cgv)
$\Rightarrow AB=AC$ và có thêm $OB=OC\Rightarrow AO$ là đường trung trực của $BC$
Mà H là trung điểm của BC
$\Rightarrow A,H,O$ thẳng hàng
Tứ giác $ABOC$ có $\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^o+90^o=180^o$
$\Rightarrow A,B,C,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OA$.
b) Xét $(O)$ có $BD$ là đường kính
$\Rightarrow ΔBCD$ vuông tại $C\Rightarrow CD⊥BC$
Mà $OA⊥BC$
$\Rightarrow OA//CD \Rightarrow\widehat{ AOC}=\widehat{ OCD}$ (so le trong)
Xét $ΔOCD$ có $OC=OD$
$\Rightarrow ΔOCD $ cân tại $ O \Rightarrow \widehat { OCD}=\widehat{ ODC}$
$\Rightarrow {ODC}=\widehat{AOC}$
Xét ΔAOC và ΔCDK có:
$\widehat{AOC}=\widehat{ CDK}$
$\widehat{ACO}=\widehat{ CKD}=90^o$
=> ΔAOC đồng dạng ΔCDK
=> $\dfrac{AO}{CD}$= $\dfrac{AC}{CK}$
=> AC.CD=CK.OA
d) Xét $ΔOCK$ vuông tại $K$
=> $ΔOCK$ nội tiếp đường tròn đường kính $OC$
Xét $ΔOHC$ vuông tại $H$
=> $ΔOHC$ nội tiếp đường tròn đươngf kính OC
=> Tứ giác OKCH nội tiếp đường tròn đường kính OC
=> $\widehat{CHK}=\widehat{ COD}$
Có góc BOA=Gó BCK( cùng phụ góc CBD)
$\widehat{CHI}+\widehat{BCK}=\widehat{BOA}+ \widehat{BAO}$
=>$\widehat{CHI}=\widehat{ BAO}$
Mà $\widehat{BAO}=\widehat{CBD}$ (cùng phụ $ \widehat{ABC}$)
=> $\widehat{CHI}=\widehat{ CBD}$
=> HI//BD
Xét ΔBCD có HI//BD và H là trung điểm của BC
=> HI là đường trung bình của ΔBCD
=> I là trung điểm của CK
