Đáp án:
D
Giải thích các bước giải:
\(f\left( {x + 1} \right) - \dfrac{{{m^2}}}{{{x^2} + 3x + 5}} = 0 \Leftrightarrow g\left( x \right) = f\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 3x + 5} \right) = {m^2}\).
Ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 3x + 5} \right) + f\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right)\).
Với \(x \in \left( { - 1;1} \right) \Leftrightarrow x + 1 \in \left( {0;2} \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( {x + 1} \right) > 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\).
Hàm số đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\) nên \(f'\left( {x + 1} \right) \ge 0\,\,\forall \,x \in \left( { - 1;1} \right)\).
\({x^2} + 3x + 5 > 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\), \(2x + 3 > 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\).
Do đó \(g'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\)
\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( 1 \right) = 9f\left( 2 \right) = 9.4 = 36\\g\left( { - 1} \right) = 3f\left( 0 \right) = 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow 0 < g\left( x \right) < 36\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\).
Để phương trình có nghiệm thì \(0 < {m^2} < 36\)
\( \Leftrightarrow - 6 < m < 6,\,\,m \ne 0\).
Mà \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;1;2;3;4;5} \right\}\).
Vậy có 10 giá trị của m thỏa mãn.
Chọn D.
