Giá trị của giới hạn $\displaystyle \lim \frac{\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}+...+\frac{n}{2}}{{{n}^{2}}+1}$ bằng A. $\displaystyle \frac{1}{8}.$ B. $1.$ C. $\displaystyle \frac{1}{2}.$ D. $\displaystyle \frac{1}{4}.$
Đáp án đúng: D Ta có $\displaystyle \frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}+...+\frac{n}{2}=\frac{1}{2}\left( 1+2+\cdots +n \right)=\frac{1}{2}.\frac{n\left( n+1 \right)}{2}.$ Do đó $\displaystyle \lim \frac{\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}+...+\frac{n}{2}}{{{n}^{2}}+1}=\lim \frac{{{n}^{2}}+n}{4{{n}^{2}}+4}=\frac{1}{4}$ (“bậc tử”$=$ “bậc mẫu”). Chọn đáp án D.