Đáp án:
a) Xét tam giác ABC có O là trung điểm của BC và OA=OB=OC
=> ΔABC vuông tại A (t.c)
b)
Do OM//AB nên:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {COM} = \widehat {CBA}\\
\widehat {MOA} = \widehat {OAB}
\end{array} \right.\\
Do:\widehat {CBA} = \widehat {OAB} \Rightarrow \widehat {COM} = \widehat {MOA}
\end{array}$
Xét ΔIAO và ΔICO có:
+) AO=CO
+) góc IOA = góc IOC
+) IO chung
=> ΔIAO = ΔICO (c-g-c)
=> góc IAO = góc ICO =90
=> IA là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O)
c)
Gọi H là giao điểm của AC và OI
=> H là trung điểm của AC => CH=4 cm
BC=10 => OC=5 cm
Xét tam giác OCI vuông tại C có CH là đường cao
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{1}{{C{H^2}}} = \frac{1}{{C{O^2}}} + \frac{1}{{C{I^2}}}\\
\Rightarrow \frac{1}{{C{I^2}}} = \frac{1}{{{4^2}}} - \frac{1}{{{5^2}}}\\
\Rightarrow C{I^2} = \frac{{400}}{9}\\
\Rightarrow O{I^2} = C{I^2} + C{O^2} = \frac{{400}}{9} + {5^2} = \frac{{625}}{9}\\
\Rightarrow OI = \frac{{25}}{3}\left( {cm} \right)
\end{array}$
