Đáp án:
\(m = 4\)
Giải thích các bước giải:
Đặt \(t = {x^2} \ge 0\) ta được \({t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2m + 1\end{array} \right.\)
Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 > 0\\2m + 1 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - \dfrac{1}{2}\\m \ne 0\end{array} \right.\)
Khi đó phương trình đã cho có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = - \sqrt {2m + 1} \\x = - 1\\x = 1\\x = \sqrt {2m + 1} \end{array} \right.\)
Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng
\( \Leftrightarrow \left| { - 1 + \sqrt {2m + 1} } \right| = \left| {1 - \left( { - 1} \right)} \right|\) \( \Leftrightarrow \left| {\sqrt {2m + 1} - 1} \right| = 2\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {2m + 1} - 1 = 2\\\sqrt {2m + 1} - 1 = - 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {2m + 1} = 3\\\sqrt {2m + 1} = - 1\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow 2m + 1 = 9 \Leftrightarrow 2m = 8 \Leftrightarrow m = 4\left( {TM} \right)\)
Vậy \(m = 4\)
