Đáp án:
\(I\left( {1;0} \right)\).
Giải thích các bước giải:
Gọi \(AD,\,\,BE\) là hai đường phân giác trong của tam giác \(ABC\) với \(D \in BC,\,\,E \in AC\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} = 5\sqrt 5 \\AC = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = 3\sqrt 5 \\BC = \sqrt {{8^2} + {4^2}} = 4\sqrt 5 \end{array}\)
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:
\(\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{3} \Rightarrow 3DB = 5DC\)
Mà \(\overrightarrow {DB} ,\,\,\overrightarrow {DC} \) là 2 vectơ ngược hướng nên \(3\overrightarrow {DB} = - 5\overrightarrow {DC} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3\left( { - 4 - {x_D}; - 5 - {y_D}} \right) = - 5\left( {4 - {x_D}; - 1 - {y_D}} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 12 - 3{x_D} = - 20 + 5{x_D}\\ - 15 - 3{y_D} = 5 + 5{y_D}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8{x_D} = 8\\8{y_D} = - 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 1\\{y_D} = - \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow D\left( {1; - \dfrac{5}{2}} \right)\).
Tương tự: Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:
\(\dfrac{{EA}}{{EC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{5}{4} \Rightarrow 4EA = 5EC\)
Mà \(\overrightarrow {EB} ,\,\,\overrightarrow {EC} \) là 2 vectơ ngược hướng nên \(4\overrightarrow {EA} = - 5\overrightarrow {EC} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\left( {1 - {x_E};5 - {y_E}} \right) = - 5\left( {4 - {x_E}; - 1 - {y_E}} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 4{x_D} = - 20 + 5{x_D}\\20 - 4{y_D} = 5 + 5{y_D}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{x_E} = 24\\9{y_E} = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = \dfrac{8}{3}\\{y_E} = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow E\left( {\dfrac{8}{3};\dfrac{5}{3}} \right)\).
Gọi \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
\( \Rightarrow I = AD \cap BE \Rightarrow \) \(A,\,\,I,\,\,D\) thẳng hàng và \(B,\,\,I,\,\,E\) thẳng hàng.
\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} ;\,\,\overrightarrow {AD} \) cùng phương và \(\overrightarrow {BI} ,\,\,\overrightarrow {BE} \) cùng phương.
Ta có: \(\overrightarrow {AI} = \left( {{x_I} - 1;{y_I} - 5} \right);\,\,\overrightarrow {AD} = \left( {0; - \dfrac{{15}}{2}} \right)\)
\(\overrightarrow {AI} ;\,\,\overrightarrow {AD} \) cùng phương \( \Rightarrow {x_I} - 1 = 0 \Leftrightarrow {x_I} = 1\)
Ta có: \(\overrightarrow {BI} = \left( {{x_I} + 4;{y_I} + 5} \right),\,\,\overrightarrow {BE} = \left( {\dfrac{{20}}{3};\dfrac{{20}}{3}} \right)\)
\(\overrightarrow {BI} ,\,\,\overrightarrow {BE} \) cùng phương
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{x_I} + 4}}{{\dfrac{{20}}{3}}} = \dfrac{{{y_I} + 5}}{{\dfrac{{20}}{3}}} \Leftrightarrow {x_I} + 4 = {y_I} + 5\\ \Leftrightarrow 1 + 4 = {y_I} + 5 \Leftrightarrow {y_I} = 0\end{array}\)
Vậy \(I\left( {1;0} \right)\).
