Đáp án:
\[\frac{{11}}{{12}}\]
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT Cô - si ta có:
\[\begin{array}{l}
a = \left( {a - 1} \right) + 1 \ge 2\sqrt {\left( {a - 1} \right).1} = 2\sqrt {a - 1} \\
b = \left( {b - 4} \right) + 4 \ge 2\sqrt {4\left( {b - 4} \right)} = 4\sqrt {b - 4} \\
c = \left( {c - 9} \right) + 9 \ge 2\sqrt {9\left( {c - 9} \right)} = 6\sqrt {c - 9}
\end{array}\]
Do đó,
\(\begin{array}{l}
P = \frac{{bc\sqrt {a - 1} + ca\sqrt {b - 4} + ab\sqrt {c - 9} }}{{abc}}\\
= \frac{{\sqrt {a - 1} }}{a} + \frac{{\sqrt {b - 4} }}{b} + \frac{{\sqrt {c - 9} }}{c}\\
\le \frac{a}{{2a}} + \frac{b}{{4b}} + \frac{c}{{6c}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{{11}}{{12}}
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
a - 1 = 1\\
b - 4 = 4\\
c - 9 = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 8\\
c = 18
\end{array} \right.\)
