Đáp án:
a.40V/m
b.\(\alpha = 35^\circ 15'\)
Giải thích các bước giải:
a.Theo đề bài ta có:
\[\begin{array}{l}
{E_A} = 4{E_B}\\
\Leftrightarrow \frac{{kq}}{{r_A^2}} = 4\frac{{kq}}{{r_B^2}}\\
\Rightarrow {r_B} = 2{r_A}
\end{array}\]
Cường độ điện trường tại I1:
\[{E_1} = \frac{{kq}}{{{{\left( {\frac{{{r_A} + {r_B}}}{2}} \right)}^2}}}\]
Cường độ điện trở tại I2:
\[{E_2} = \frac{{kq}}{{{{\left( {\frac{{{r_A} + \frac{{{r_A} + {r_B}}}{2}}}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{kq}}{{{{\left( {\frac{{3{r_A} + {r_B}}}{2}} \right)}^2}}}\]
Cường độ điện trường tại I3 lả:
\[{E_3} = \frac{{kq}}{{{{\left( {\frac{{{r_A} + \frac{{{r_A} + \frac{{{r_A} + {r_B}}}{2}}}{2}}}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{kq}}{{{{\left( {\frac{{7{r_A} + {r_B}}}{8}} \right)}^2}}}\]
Cường độ điện trường tại In là:
\[ \Rightarrow {E_n} = \frac{{kq}}{{{{\left( {\frac{{\left( {{2^n} - 1} \right){r_A} + {r_B}}}{{{2^n}}}} \right)}^2}}} = \frac{{kq}}{{{{\left( {\frac{{\left( {{2^n} - 1} \right){r_A} + 2{r_A}}}{{{2^n}}}} \right)}^2}}} = \frac{{kq}}{{{{\left( {\frac{{{2^n} + 1}}{{{2^n}}}} \right)}^2}r_A^2}} = \frac{{{E_A}}}{{{{\left( {1 + \frac{1}{{{2^n}}}} \right)}^2}}}\]
Vì \({\frac{1}{{{2^n}}}}\) rất nhỏ so với 1 với n=2016 nên ta có:
\[{E_{2016}} \approx {E_A} = 40V/m\]
b.Gọi \(\alpha \) là góc như hình vẽ. Điện trường tổng hợp tại một điểm trên đường trung trực tính theo \(\alpha \) là:
\[\begin{array}{l}
\sum {E = 2{E_A}\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)} = 2\frac{{kq}}{{A{I_1}^2}}\sin \alpha = \frac{{2kq\sin \alpha }}{{{{\left( {\frac{{{r_A}}}{{2\cos \alpha }}} \right)}^2}}} = 8{E_A}\sin \alpha \cos {\alpha ^2}\\
\Leftrightarrow \sum {E = 8{E_A}\sin \alpha \left( {1 - \sin {\alpha ^2}} \right)} = 8{E_A}\left( {\sin \alpha - \sin {\alpha ^3}} \right)
\end{array}\]
Đạo hàm hàm số trên ta được:
\[\sum {E' = 8{E_A}\cos \alpha } \left( {1 - 3\sin {\alpha ^2}} \right) \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]
Vậy hàm số đạt cực trị khi \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) nhưng vì cực tiểu của ∑E khi \(\alpha = 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Giá trị cực đại này là:
\[\sum {E = 8.40.\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }} - {{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^3}} \right) \approx 123,17V/m} \]
KHi đó góc \(\alpha \) có giá trị:
\[\alpha = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = 35^\circ 15'\]
