Đáp án:
\(y = 9,x = 3\)
Giải thích các bước giải:
\(\left( {1 + x} \right)\left( {1 + \dfrac{y}{x}} \right){\left( {1 + \dfrac{9}{{\sqrt y }}} \right)^2} = \left( {1 + x + \dfrac{y}{x} + y} \right){\left( {1 + \dfrac{9}{{\sqrt y }}} \right)^2}\)
Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương \(x,\dfrac{y}{x}\) ta có: \(x + \dfrac{y}{x} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{y}{x}} = 2\sqrt y \)
Khi đó
\(\begin{array}{l}\left( {1 + x + \dfrac{y}{x} + y} \right){\left( {1 + \dfrac{9}{{\sqrt y }}} \right)^2} \ge \left( {1 + 2\sqrt y + y} \right){\left( {1 + \dfrac{9}{{\sqrt y }}} \right)^2}\\ = {\left( {1 + \sqrt y } \right)^2}{\left( {1 + \dfrac{9}{{\sqrt y }}} \right)^2} = {\left[ {\left( {1 + \sqrt y } \right)\left( {1 + \dfrac{9}{{\sqrt y }}} \right)} \right]^2} = {\left( {1 + \sqrt y + \dfrac{9}{{\sqrt y }} + 9} \right)^2}\end{array}\)
Áp dụng bđt Cô – si cho hai số dương \(\sqrt y \) và \(\dfrac{9}{{\sqrt y }}\) ta có: \(\sqrt y + \dfrac{9}{{\sqrt y }} \ge 2\sqrt {\sqrt y .\dfrac{9}{{\sqrt y }}} = 6\)
Vậy \({\left( {1 + \sqrt y + \dfrac{9}{{\sqrt y }} + 9} \right)^2} \ge {\left( {1 + 6 + 9} \right)^2} = 256\)
Dấu “=” xảy ra khi \(y = 9,x = 3\).
