Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$để đồ thị hàm số$y={{x}^{4}}+m{{x}^{2}}-\frac{{{{m}^{2}}}}{2}+6$ có ba điểm cực trị$A$,$B$,$C$ sao cho tam giác$ABC$ có trực tâm là$H\left( {0;\frac{{29}}{4}} \right)$. A. $m=-4$ B. $m=-3$ C. $m=-2$ D. $m=-1$
Đáp án đúng: D Ta có: $y'=4{{x}^{3}}+2mx.$ Khi đó$y'=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}+2mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\{{x}^{2}}=-\frac{m}{2}.\end{array} \right.$ Để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị$A,B,C$thì$-\frac{m}{2}>0\Leftrightarrow m<0.$ Khi đó, ta có$A\left( {0;\frac{{-{{m}^{2}}}}{2}+6} \right),\,\,B\left( {\sqrt{{\frac{{-m}}{2}}};\frac{{-3{{m}^{2}}}}{4}+6} \right),\,\,C\left( {-\sqrt{{\frac{{-m}}{2}}};\frac{{-3{{m}^{2}}}}{4}+6} \right).$$\displaystyle \overrightarrow{{HB}}=\left( {\sqrt{{\frac{{-m}}{2}}};\frac{{-3{{m}^{2}}-5}}{4}} \right),\,\,\overrightarrow{{AC}}=\left( {-\sqrt{{\frac{{-m}}{2}}};\frac{{-{{m}^{2}}}}{4}} \right).$ Vậy$m=-1.$ Đáp án D