Cho hàm số $y=\frac{{x+2}}{{x-2}}$ có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. A. $M(2;2)$. B. $M(0;-1)$. C. $M(1;-3)$. D. $M(4;3)$.
Đáp án đúng: D Chọn D. TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }2\}$. Giả sử$M({{x}_{0}};\frac{{{{x}_{0}}+2}}{{{{x}_{0}}-2}})\in (C),\forall {{x}_{0}}>0,{{x}_{0}} e 2$. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng$x=2$ và tiệm cận ngang$y=1$. Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. $MA=|{{x}_{0}}-2|,\,\,MB=|{{y}_{0}}-1|=|\frac{{{{x}_{0}}+2}}{{{{x}_{0}}-2}}-1|=\frac{4}{{|{{x}_{0}}-2|}}$ Theo bất đẳng thức Cô Si ta có:$MA+MB=|{{x}_{0}}-2|+\frac{4}{{|{{x}_{0}}-2|}}\ge 2\sqrt{{|{{x}_{0}}-2|.\frac{4}{{|{{x}_{0}}-2}}}}=4$ Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow |{{x}_{0}}-2|=\frac{4}{{|{{x}_{0}}-2|}}\Leftrightarrow {{({{x}_{0}}-2)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{0}}=0\,\,\,(L)\\{{x}_{0}}=4\,\,\,(TM)\end{array} \right.\Rightarrow M(4;3)$