1.
Ta có: $a+b+c=0$ ⇒ $(a+b+c)^2=0$
⇒ $a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0$
Mà $a^2+b^2+c^2=2017$
Do đó $2017+2(ab+bc+ca)=0$
⇒ $ab+bc+ca=-2017:2=-1008,5$
⇒ $(ab+bc+ca)^2=(-1008,5)^2$
⇒ $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(a^2bc+ab^2c+2abc^2)=1008,5^2$
⇒ $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)=1008,5^2$
⇒ $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=1008,5^2$ ( vì $a+b+c=0$)
Mặt khác: $(a^2+b^2+c^2)^2=2017^2$
⇒ $a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=2017^2$
⇒ $a^4+b^4+c^4+2.1008,5^2=2017^2$
Vậy $a^4+b^4+c^4=2017^2-2.1008,5^2=2034144,5$
2.
$B=xy+yz+zx=xy+z(x+y)=xy+[3-(x+y)](x+y)$
$=xy+3(x+y)-(x+y)^2=-x^2-y^2-xy+3x+3y$
$=-(x+\frac{y-3}{2})^2+\frac{-3y^2+6y+9}{4} =-(x+\frac{y-3}{2})^2+\frac{-3}{4}(y-1)^2+3≤3$
Dấu "=" xảy ra
\begin{matrix} y-1=0 & & \\ x+\frac{y-3}{2}=0 & & \\ x+y+z=0 & & \end{matrix} ⇔ $x=y=z=1$
Vậy GTLN của $B$ là $3$ khi $x=y=z=1$
3.
$P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6)$
$=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$
$=(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$
Đặt $x^2+5x=a$
⇒ $P=(a-6)(a+6)$
$=a^2-36$
Vì $a^2≥0$ nên $P≥-36$
Dấu "=" xảy ra khi $a=0$ ⇔ $x^2+5x=0$ ⇔ $x(x+5)=0$ ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=-5\end{array} \right.\)
Vậy GTNN của $P$ là $-36$ khi $x=0$ hoặc $x=-5$
