Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{abc}}{{ab + bc + ca}} = \frac{2}{9}.\frac{{a + b + c}}{2}\\
\Leftrightarrow \frac{{abc}}{{ab + bc + ca}} = \frac{{a + b + c}}{9}\\
\Leftrightarrow 9abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)\\
\Leftrightarrow 9abc = {a^2}b + abc + {a^2}c + a{b^2} + {b^2}c + abc + abc + b{c^2} + {c^2}a\\
\Leftrightarrow {a^2}b + a{b^2} + a{c^2} + {a^2}c + b{c^2} + {b^2}c - 6abc = 0
\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có:
\({a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {c^2}a + a{c^2} \ge 6.\sqrt[6]{{{a^2}b.{b^2}a.{b^2}c.c{b^2}.a{c^2}.c{a^2}}} = 6abc\)
Suy ra dấu '=' ở trên phải xảy ra
Do đó, a=b=c hay tam giác ABC là tam giác đều
