Đáp án:
M là trọng tâm tam giác ABC
Giải thích các bước giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
T = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\\
= {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\\
= {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\\
= \left( {M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + G{A^2}} \right) + \left( {M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + G{B^2}} \right) + \left( {M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} + G{C^2}} \right)\\
= \left( {3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right) + 2\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)\\
= 3M{G^3} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}
\end{array}\)
Do đó, để T có GTNN thì \(M{G^2}\) có GTNN, do \(G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) không đổi
Suy ra M trùng với G
Hay M là trọng tâm tam giác ABC thì T nhỏ nhất.
