Đáp án:
\[\left[ \begin{array}{l}
x = 7 + 4\sqrt 3 \\
x = 7 - 4\sqrt 3
\end{array} \right.\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
Q = \frac{{5\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\\
{\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} > 0,\,\,\,\,\forall x > 0,x \ne 1\\
\Rightarrow x - 2\sqrt x + 1 > 0 \Leftrightarrow x + 1 > 2\sqrt x \\
\Rightarrow x + \sqrt x + 1 > 3\sqrt x \\
\Rightarrow Q = \frac{{5\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} < \frac{{5\sqrt x }}{{3\sqrt x }} = \frac{5}{3}\\
x > 0,x \ne 1 \Rightarrow Q = \frac{{5\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} > 0\\
\Rightarrow 0 < Q < \frac{5}{3}
\end{array}\)
Do đó, để Q là số nguyên thì \(Q = 1\)
\(\begin{array}{l}
Q = 1 \Leftrightarrow \frac{{5\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = 1\\
\Leftrightarrow x + \sqrt x + 1 = 5\sqrt x \\
\Leftrightarrow x - 4\sqrt x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x = 2 + \sqrt 3 \\
\sqrt x = 2 - \sqrt 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 7 + 4\sqrt 3 \\
x = 7 - 4\sqrt 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
