Cho $\alpha ,\beta $ là hai số phức liên hợp thỏa mãn$\frac{\alpha }{{{{\beta }^{2}}}}\in R$ và$\left| {\alpha -\beta } \right|=2\sqrt{3}.$ Khi đó$\left| \alpha \right|$bằng? A. 1. B. 2. C. 4. D. 8.
Đáp án đúng: B Đặt $\alpha =x+iy(x,y\in R)=>\beta =x-iy.$ Không giảm tính tổng quát, ta coi$y\ge 0.$ Vì$\left| {\alpha -\beta } \right|=2\sqrt{3}=>\left| {2iy} \right|=2\sqrt{3}=>y=\sqrt{3}.$ Do$\alpha ,\beta $ là hai số phức liên hợp nên$\alpha .\beta \in R,$ mà$\frac{\alpha }{{{{\beta }^{2}}}}=\frac{{{{\alpha }^{3}}}}{{{{{\left( {\alpha \beta } \right)}}^{2}}}}\in R=>{{\alpha }^{3}}\in R.$ Ta có${{\alpha }^{3}}={{x}^{3}}-3x{{y}^{2}}+\left( {3{{x}^{2}}y-{{y}^{3}}} \right)i=>{{\alpha }^{3}}\in R<=>3{{x}^{2}}y-{{y}^{3}}=0<=>y\left( {3{{x}^{2}}-{{y}^{2}}} \right)=0=>{{x}^{2}}=1.$ Vậy$\left| \alpha \right|=\sqrt{{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}=\sqrt{{1+3}}=2.$