Giải thích các bước giải:
a,
ĐKXĐ:
\(\begin{array}{l}
{x^4} - {x^3} + 2{x^2} - x + 1 \ne 0\\
\left( {{x^4} - {x^3} + {x^2}} \right) + \left( {{x^2} - x + 1} \right) \ne 0\\
\Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - x + 1} \right) + \left( {{x^2} - x + 1} \right) \ne 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) \ne 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 1 \ne 0\\
{x^2} - x + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in R
\end{array}\)
Vậy hàm số đã cho xác định với mọi x
\(\begin{array}{l}
A = \frac{{{x^4} + {x^3} + x + 1}}{{{x^4} - {x^3} + 2{x^2} - x + 1}}\\
= \frac{{\left( {{x^4} + {x^3}} \right) + \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\
= \frac{{{x^3}\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\
= \frac{{\left( {{x^3} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\
= \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\
= \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}
\end{array}\)
b,
A có giá trị bằng 2 khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} = 2\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 2{x^2} + 2\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow x = 1
\end{array}\)
c,
Ta có
\(\begin{array}{l}
{x^2} + 1 \ge 2x\\
A = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right) + 2x}}{{{x^2} + 1}} = 1 + \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} \le 1 + \frac{{2x}}{{2x}} = 2\\
{A_{\max }} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 2x \Leftrightarrow x = 1
\end{array}\)
