$TH1:x=1 \Rightarrow \ y^{2}=1!=1 \Rightarrow y=1(\ vì\ y>0)$
$TH2:x=2 \Rightarrow \ y^{2}=1!+2!=5 \Rightarrow y=\sqrt5(\ vì\ y>0)\rightarrow loại$
$TH3:x=3 \Rightarrow \ y^{2}=1!+2!+3!=9 \Rightarrow y=\sqrt9=3(\ vì\ y>0)$
$TH4:x\geq4 \Rightarrow \ y^{2}=1!+2!+3!+...+x!=5+3!+...+x!$
$Vì \ 3!,...,x!\ \vdots 3 và\ 5\ chia \ 3\ dư\ 2 \rightarrow y^{2}=5+3!+...+x!\ chia \ 3\ dư\ 2$
⇒ $y^{2}$ không chia hết cho 3⇒ y không chia hết cho 3
Nếu y=3k+1(k∈N) ⇒ $y^{2}=(3k+1)^{2}=9k^{2}+6k+1$ chia 3 dư 1 (loại)
Nếu y=3k+2(k∈N) ⇒ $y^{2}=(3k+2)^{2}=9k^{2}+12k+4$ chia 3 dư 1 (loại)
Suy ra loại TH4
Vậy (x;y)=(1;1);(3;3)
