a) $\left(n+6\right)^2-\left(n-6\right)^2$

$=\left[\left(n+6\right)-\left(n-6\right)\right]\left[\left(n+6\right)+\left(n-6\right)\right]$

$=\left(n+6-n+6\right)\left(n+6+n-6\right)$

$=12.2n$

$=24n$

Vì 24n chia hết cho 24 với mọi n

=> (n + 6)2 - (n - 6)2 chia hết cho 24 với mọi n thuộc Z (Đpcm)

b) P/s: Bài này cậu thiếu điều kiện n lẻ nên mình thêm vào mới giải được nha.

$n^2+4n+3$

$=n^2+n+3n+3$

$=n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)$

$=\left(n+3\right)\left(n+1\right)$

Vì n là số lẻ nên n = 2k + 1 ( k thuộc Z )

Thay n = 2k + 1 vào ta được

$\left(n+3\right)\left(n+1\right)$

$=\left(2k+1+3\right)\left(2k+1+1\right)$

$=\left(2k+4\right)\left(2k+2\right)$

$=2\left(k+2\right)2\left(k+1\right)$

$=4\left(k+2\right)\left(k+1\right)$

Vì (k + 2)(k + 1) là tích của hai số liên tiếp

=> (k + 2)(k + 1) chia hết cho 2

=> 4(k + 2)(k + 1) chia hết cho 8

=> n2 + 4n + 3 chia hết cho 8 với mọi số nguyên n lẻ ( Đpcm )

c) $\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2$

$=\left[\left(n+3\right)-\left(n-1\right)\right]\left[\left(n+3\right)+\left(n-1\right)\right]$

$=\left(n+3-n+1\right)\left(n+3+n-1\right)$

$=4\left(2n+2\right)$

$=4.2\left(n+1\right)$

$=8\left(n+1\right)$

Vì 8(n + 1) chia hết cho 8 với mọi n

=> (n + 3)2 - (n - 1)2 chia hết cho 8 với mọi n ( Đpcm )