a)
Xét $\triangle EBM$ vuông tại $E$ và $\triangle FCM$ vuông tại $F$ có:
$BM = CM$ ($M$ là trung điểm của $BC$)
$\widehat{EBM} = \widehat{FCM}$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$)
$\Rightarrow \triangle EBM = \triangle FCM$ (cạnh huyền - góc nhọn)
b)
$AB = AE + EB$
$AC = AF + FC$
Mà $AB = AC$ ($\triangle ABC$ cân tại $A$)
$EB = FC$ ($\triangle EBM = \triangle FCM$)
$\Rightarrow AE = AF$ $\Rightarrow F$ thuộc đường trung trực của $EF$ $\left ( 1 \right )$
Lại có $EM = FM$ ($\triangle EBM = \triangle FCM$) $\Rightarrow M$ thuộc đường trung trực của EF $\left ( 2 \right )$
Từ $\left ( 1 \right )$ và $\left ( 2 \right )$ $\Rightarrow AM$ là đường trung trực của $EF$
Hay $AM \perp EF$
c)
$AM$ là trung tuyến của $\triangle ABC$ cân tại $A$
$\Rightarrow AM$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ $\left ( 3 \right )$
Xét $\triangle BAP$ vuông tại $B$ và $\triangle CAP$ vuông tại $C$ có:
$AB = AC$ ($\triangle ABC$ cân tại $A$)
$AP$ là cạnh chung
$\Rightarrow \triangle BAP = \triangle CAP$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
$\Rightarrow BP = CP$ (2 cạnh tương ứng)
$\Rightarrow AP$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$
Mà $AM$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ (theo $\left ( 3 \right )$)
$\Rightarrow AP \equiv AM$
$\Rightarrow A, P, M$ thẳng hàng
