Cho phương trình: $ { x ^ 3 }+3{ x ^ 2 }-(24+m)x-26-n=0 $ . Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt $ { x _ 1 },{ x _ 2 },{ x _ 3 } $ lập thành một cấp số cộng? A.$ m-n=0 $. B.$ m+n=2 $. C.$ m-n=1 $. D.$ m+n=1 $.
Đáp án đúng: A Vì 3 nghiệm phân biệt: $ { x _ 1 },{ x _ 2 },{ x _ 3 } $ lập thành cấp số cộng, nên ta có thể đặt:
$ { x _ 1 }={ x _ 0 }-d,{ x _ 2 }={ x _ 0 },{ x _ 3 }={ x _ 0 }+d(d e 0) $ . Theo giả thiết ta có:
$ { x ^ 3 }+3{ x ^ 2 }-(24+m)x-26-n=(x-{ x _ 1 })(x-{ x _ 2 })(x-{ x _ 3 })=(x-{ x _ 0 }+d)(x-{ x _ 0 })(x-{ x _ 0 }-d) $
$ ={ x ^ 3 }-3{ x _ 0 }{ x ^ 2 }+(3x_ 0 ^ 2 -{ d ^ 2 })x-x_ 0 ^ 3 +{ x _ 0 }{ d ^ 2 } $ $ (\forall x) $
Đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình ta có hệ \[\left\{ \begin{array}{l}
- 3{x_0} = 3\\
3x_0^2 - {d^2} = - (24 + m)\\
- x_0^3 + {x_0}{d^2} = - 26 - n
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = - 1\\
3 - {d^2} = - 24 - m\\
1 - {d^2} = - 26 - n
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = - 1\\
m = n
\end{array} \right.\]
Vậy với $ m=n $ thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành cấp số cộng.