Cho dãy số xác định bởi: $ \left\{ \begin{align} & { u _ 1 }=1 \\ & { u _{n+1}}={ u _ n }+3n-1-{{2.5}^ n },n\ge 1 \\ \end{align} \right. $ . Số hạng thứ 10 trong dãy số có giá trị là: A. $ 4882683 $ B. $ 4882687,5 $ C. $ -4882683 $ D. $ -4882687,5 $
Đáp án đúng: C Ta có: $ \begin{align} & { u _ 1 }=1 \\ & { u _ 2 }={ u _ 1 }+3.1-1-{{2.5}^ 1 } \\ & { u _ 3 }={ u _ 2 }+3.2-1-{{2.5}^ 2 } \\ & ................................. \\ & { u _ n }={ u _{n-1}}+3.(n-1)-1-{{2.5}^{n-1}} \\ \end{align} $ Cộng n đẳng thức trên theo vế suy ra: $ { u _ n }=1+3\left[ 1+2+3+...+(n-1) \right]-(n-1)-2\left[ { 5 ^ 1 }+{ 5 ^ 2 }+{ 5 ^ 3 }+...+{ 5 ^{n-1}} \right] $ Trong đó: $ 1+2+3+...+(n-1)=\dfrac{(n-1)n} 2 $ Và tổng $ A={ 5 ^ 1 }+{ 5 ^ 2 }+{ 5 ^ 3 }+...+{ 5 ^{n-1}} $ là tổng của $ n-1 $ số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng thứ nhất $ { a _ 1 }=5 $ , công bội $ q=5 $ $ \Rightarrow A={ S _{n-1}}={ a _ 1 }\dfrac{1-{ q ^{n-1}}}{1-q}\Rightarrow A=5.\dfrac{1-{ 5 ^{n-1}}}{-4}=-\dfrac{5}{4} +\dfrac{{ 5 ^ n }} 4 $ $ \begin{align} & { u _ n }=2-n+3\dfrac{(n-1)n} 2 -2\left[ -\dfrac{5}{4} +\dfrac{{ 5 ^ n }} 4 \right]=\dfrac{1}{2} (3{ n ^ 2 }-5n+9-{ 5 ^ n }) \\ & \Rightarrow { u _{10}}=-4882683 \\ \end{align} $