Giải thích các bước giải:
a, ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính AB
⇒ ΔABC vuông tại C (đpcm)
⇒ $AC^2 = AH.AB = (R - OH).2R = (4 - 1).2.4 = 24$
⇔ AC = 2$\sqrt[]{6}$cm
b, ΔOHC = ΔOHD (ch - cgv)
⇒ HC = HD
⇒ BH là trung tuyến của ΔBCD mà BH cũng là đường cao
⇒ ΔBCD cân tại B (đpcm)
Ta có: AC ⊥ CB ⇒ ΔCAE vuông tại C
CD ⊥ AB ⇒ ΔHBC vuông tại H
mà $\widehat{CBH}$ = $\widehat{EAC}$ (cùng phụ với $\widehat{CAB}$)
⇒ ΔCAE ~ ΔHBC (g.g)
⇒ $\frac{AE}{BC}$ = $\frac{EC}{HC}$
mà ΔBCD cân tại B, BH là trung tuyến
⇒ BC = BD và HC = DH
⇒ $\frac{AE}{BD}$ = $\frac{EC}{DH}$ (đpcm)
c, ΔAOC cân tại O ⇒ $\widehat{OAC}$ = $\widehat{OCA}$
mà $\widehat{OAC}$ = $\widehat{CEI}$ (cùng phụ với $\widehat{EAC}$)
⇒ $\widehat{CEI}$ = $\widehat{OCA}$
ΔACE vuông tại C có CI là trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ CI = IE ⇒ ΔCIE cân tại I
⇒ $\widehat{CEI}$ = $\widehat{ICE}$
⇒ $\widehat{OCA}$ = $\widehat{ICE}$
lại có $\widehat{ICA}$ + $\widehat{ICE}$ = $90^o$
⇒ $\widehat{ICA}$ + $\widehat{OCA}$ = $90^o$
⇒ $\widehat{OCI}$ = $90^o$
⇒ CI là tiếp tuyến của (O) (đpcm)
⇒ $\widehat{ICQ}$ = $\widehat{CBI}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó) (đpcm)
d, Gọi G = IB ∩ HC
Ta có: CG ║ BF (cùng ⊥ AB)
⇒ $\frac{IC}{CF}$ = $\frac{IG}{GB}$
⇒ $\frac{IA}{CF}$ = $\frac{IG}{GB}$
AI ║ BF (cùng ⊥ AB)
⇒ $\widehat{AIG}$ = $\widehat{GBF}$
⇒ ΔAIG ~ ΔFBG (c.g.c)
⇒ $\widehat{IGA}$ = $\widehat{BGF}$
⇒ A, G, F thẳng hàng
⇒ 3 đường thẳng IB, HC, AF đồng quy tại G (đpcm)
