a ,\(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)⋮6\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮6\)

Vì a(a+1) là 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2

Vì a (a+1)(a+2) là 3 số nguyên liên tiêp nên chia hết cho 3

Mà 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮6\) hay \(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)⋮6\) (đpcm)

b,\(a\left(2a-3\right)-2a\left(a+1\right)⋮5\)

\(\Leftrightarrow2a^2-3a-2a^2-2a⋮5\)

\(\Leftrightarrow-5a⋮5\) (đúng)

Vậy \(a\left(2a-3\right)-2a\left(a+1\right)⋮5\)

c,\(x^2+2x+2>0\forall x\)

Ta có \(x^2+2x+2=\left(x^2+2x+1\right)+1=\left(x+1\right)^2+1\)

Vì \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x+1\right)^2+1\ge1>0\forall x\)

Vậy \(x^2+2x+2>0\forall x\)

d,\(x^2-x+1>0\forall x\)

Ta có: \(x^2-x+1=\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)

Vì \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\forall x\)

Vậy \(x^2-x+1>0\forall x\)

e,\(-x^2+4x-5< 0\forall x\)

Ta có \(-x^2+4x-5=-\left(x^2-4x+4\right)-1=-\left(x-2\right)^2-1\)

Vì \(-\left(x-2\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x-2\right)^2-1\le-1< 0\forall x\)

Vậy \(-x^2+4x-5< 0\forall x\)