Lời giải:
Phương trình $y''+y=2sinx+4cos2x$ có phương trình đặc trưng là $k^2+1=0$ với hai nghiệm phức liên hợp $±i$.Do đó phương trình thuần nhất tương ứng có nghiệm tổng quát là:
$y=C_1cosx+C_2sinx$
Để tìm nghiệm riêng của phương trình đã cho ta cần tìm nghiệm riêng của các phương trình:
$y''+y=2sinx$(*)
$y''+y=4cos2x$(**)
(*) có một nghiệm riêng là $y=-xcosx$
(**) có một nghiệm riêng là $y=-\frac{4}{3}cos2x$
Vậy $y=-xcosx-\frac{4}{3}cos2x$ là một nghiệm riêng của phương trình đã cho và nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:
$y=-xcosx-\frac{4}{3}cos2x+C_1cosx+C_2sinx$
