Đáp án:

Bài 1:

1) Đ              
2) S (cạnh huyền là $\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}$cm)

3) S (Góc ngoài của một tam giác bằng tổng 2 góc trong không kề với nó)    

4) Đ  

5) S (tùy vào tam giác ví dụ trong tam giác vuông góc lớn nhất là góc vuông)    

6) Đ Tam giác vuông có 1 góc bằng $45^o$ khi đó tam giác có 2 góc đã biết $90^o$ và $45^o$, sử dụng tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác suy ra góc còn lại là $180^o-90^o-45^o=45^o$ suy ra tam giác đó là tam giác vuông cân

7) S góc $45^o$ đó là góc ở đỉnh thì hai góc ở đấy là $\dfrac{180^o-45^o}{2}=67,5\Rightarrow$ tam giác đó không vuông

8) Đ

9) S

10) Đ Theo tính chất tổng 3 góc trong tam giác $\widehat A+\widehat B+\widehat C=180^o$

$\Rightarrow\widehat C=180^o-(\widehat A+\widehat B)=180^o-(40+70)=70^o$

$\Rightarrow \widehat C=\widehat B=70^o\Rightarrow \Delta ABC$ cân đỉnh A.

Bài 2:

1) D $\widehat B=\dfrac{180^o-\widehat A}{2}=\dfrac{180^o-90^o}{2}=45^o$                

2) B do $5^2=3^2+4^2$ theo pitago đảo thì tam giác có 2 cạnh 3, 4, 5 vuông, cạnh huyền có độ dài 5   

3) C Góc ở đỉnh$=180^o-40^o.2=100^o$        

4) B do $5^2=4^2+3^2$ hay $AC^2=AB^2+BC^2$ theo định lý Pitago đảo $\Delta ABC\bot B$                        

5) C  

6) B vì có 1 góc bằng $90^o$

7) C Tam giác vuông cân là biết có góc ở đỉnh bằng $90^o$ 2 góc ở đáy bằng nhau và bằng $\dfrac{180^o-90^o}{2}=45^o$

8) A (vì nếu góc ở đáy là góc $90^o$, hay là góc tù thì 2 lần góc ở đáy lớn hơn $180^o$ trái với tích chất tổng 3 góc trong tam giác bằng $180^o$ nên tam giác cân góc ở đáy là góc nhọn)

9) D Do $AB=AC\Rightarrow\Delta ABC$ cân đỉnh A $\Rightarrow \widehat B=\widehat C=45^o$, theo tính chất tổng ba góc trong tam giác $\Rightarrow \widehat A=180^o-45^o-45^o=90^o$

$\Rightarrow\Delta ABC$ vuông cân đỉnh A

10) D đường chéo, chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật tạo thành 1 tam giác vuông cạnh huyền là đường chéo, hai cạnh góc vuông là chiều rộng và chiều dài nên ta có $17^2=15^2+{\text{chiều rộng}}^2\Rightarrow $chiều rộng là $\sqrt{17^2-15^2}=8$               

II Tự luận

Bài 1: Do $\Delta MNP$ cân đỉnh M nên $\widehat N=\widehat P$

Theo tính chất tổng ba góc trong 1 tam giác ta có:

$\widehat M+\widehat N+\widehat P=180^o$

$\Rightarrow \widehat M+\widehat P+\widehat P=180^o$

$\Rightarrow \widehat M+2\widehat P=180^o$

$\Rightarrow \widehat P=\dfrac{180^o-\widehat M}{2}=\dfrac{180^o-75^o}{2}=52,5^o$

Vậy $\widehat N=\widehat P=52,5^o$

Bài 2: Do $\Delta AMN$ cân đỉnh A nên $\widehat{M}=\widehat N=55^o$

Theo tính chất tổng 3 góc trong tam giác có:

$\widehat A+\widehat M+\widehat N=180^o$

$\Rightarrow\widehat A=180^o-(\widehat M+\widehat N) $

$=180^o-(55^o+55^o)=70^o$

Bài 3: Ta có: $BC^2=AB^2+AC^2$

$\Leftrightarrow 10^2=6^2+8^2$ (100=36+64) (đúng)

$\Rightarrow\Delta ABC$ cân đỉnh A (theo pitago đảo)

Bài 4: Áp dụng định lý pitago vào $\Delta ABC\bot A$ ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2=5^2+12^2=169\Rightarrow BC=13$ cm

Bài 5: a) Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$ có:

$AB=AC$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)

$AM$ chung

$BM=CM$ (do M là trung điểm cạnh $BC$)

$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta ACM$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Hay $\widehat{HAM}=\widehat{KAM}$

Xét $\Delta $ vuông $AHM$ và $\Delta $ vuông $AKM$ có:

$AM$ chung

$\widehat{HAM}=\widehat{KAM}$ (cmt)

$\Rightarrow\Delta AHM=\Delta AKM$ (ch-gn)

$\Rightarrow AH=AK$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

c) $AH=AK\Rightarrow\Delta AHK$ cân đỉnh A $\Rightarrow\widehat{AHK}=\dfrac{180^o-\widehat A}{2}$

$\Delta ABC$ cân đỉnh A nên $\widehat {ABC}=\dfrac{180^o-\widehat A}{2}$

$\Rightarrow \widehat{AHK}=\widehat{ABC}$ $(=\dfrac{180^o-\widehat A}{2})$ mà chúng ở vị trí đồng vị nên $HK//BC$ (đpcm)

Bài 6: a) Xét $\Delta AOH$ và $\Delta BOH$ có:

$OA=OB$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh O)

$\widehat{AOH}=\widehat{BOH}$ (do OH là phân giác góc O)

$OH$ chung

$\Rightarrow\Delta AOH=\Delta BOH$ (c.g.c)

$\Rightarrow AH=BH$ (đpcm)

b) Xét $\Delta$ vuông $ NOH$ và $\Delta$ vuông $MOH$ có:

$OH$ chung

$\widehat{NOH}=\widehat{MOH}$ (do $OH$ là đường phân giác $\widehat O$)

$\Rightarrow\Delta NOH=\Delta MOH$ (ch-gn)

$\Rightarrow HN=HM$ (đpcm)

c) $\Delta NOH=\Delta MOH\Rightarrow ON=OM$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\Delta OAM$ và $\Delta OBN$ có:

$OA=OB$ (giả thiết cho $\Delta OAB$ cân đỉnh O)

$\widehat O$ chung

$OM=ON$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta OAM=\Delta OBN$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{OAM}=\widehat{OBN}$ (hai góc tương ứng)

Gọi $AM\cap BN=G$

$\Rightarrow \widehat{NAG}=\widehat{MBG}$ (1)

$OA=OB, ON=OM\Rightarrow OA-ON=OB-OM\Rightarrow NA=MB$ (2)

Xét $\Delta NAB$ và $\Delta MBA$ có:

$AN=BM$ (cmt)

$\widehat{NAB}=\widehat{MBA}$ (do $\Delta OAB$ cân đỉnh O)

$AB$ chung

$\Rightarrow \Delta NAB=\Delta MBA$ (c.g.c)

$\Rightarrow\widehat{ANB}=\widehat{BMA}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow\widehat{ANG}=\widehat{BMG}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\Delta NAG=\Delta MBG$ (g.c.g)

$\Rightarrow GA=GB$ và $GN=GM$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow G$ thuộc đường trung trược của $AB$ mà OH là đường trung trực của AB nên G thuộc OH

Suy ra $AM\cap BN\cap OH=G\Rightarrow AM,BN,OH$ đồng quy tại G.

Bài 7: a) Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACD$ có:

$AB=AC$ (giả thiết cho $\Delta ABC$ cân đỉnh A)

$\widehat A$ chung

$AE=AD$ (giả thiết)

$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta ACD$ (c.g.c)

$\Rightarrow BE=CD$ (đpcm)

b) $\Delta ABE=\Delta ACD\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ACD}$ (hai góc tương ứng)

Hay $\widehat{DBM}=\widehat{ECM}$ (1)

AB=AC và AD=AE suy ra $AB-AD=AC-AE\Rightarrow BD=CE$ (2)

Xét $\Delta DBC$ và $\Delta ECB$ có:

$DB=EC$ (cmt)

$\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$

$BC$ chung

$\Rightarrow \Delta DBC=\Delta ECB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{BDC}=\widehat{CEB}$ (hai góc tương ứng)

Hay $\widehat{BDM}=\widehat{CEM}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\Delta BMD=\Delta CME$ (g.c.g)

c) $\Rightarrow MB=MC$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$ có:

$AM$ chung

$AB=AC$ (gt)

$MB=MC$ (cmt)

$\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM$ (c.c.c)

$\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow AM$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$ (đpcm)

Bài 8: a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có:

$AB=AC$ (do giả thiết cho $\Delta ABC$ cân đỉnh A)

$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (do giả thiết cho $\Delta ABC$ cân đỉnh A)

$BD=CE$ (giả thiết)

$\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACE$ (c.g.c) (đpcm)

b) Xét $\Delta$ vuông $ BHD$ và $\Delta$ vuông $CKE$ có:

$BD=CE$ (giả thiết)

$\widehat{HBD}=\widehat{KCE}$ (giả thiết)

$\Rightarrow\Delta HBD=\Delta KCE$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow HD=KE$ (hai cạnh tương ứng)

c) $\Delta HBD=\Delta KCE\Rightarrow\widehat{HDB}=\widehat{KEC}$

mà $\widehat{HDB}=\widehat{ODE}$ và $\widehat{KEC}=\widehat{OED}$

$\Rightarrow\widehat{ODE}=\widehat{OED}\Rightarrow\Delta ODE$ cân đỉnh O.

d) Xét $\Delta ADO$ và $\Delta AEO$ có:

$AD=AE$ (do $\Delta ABD=\Delta ACE$ cmt)

$OA=OE$ (do $\Delta ODE$ cân đỉnh O cmt)

$AO$ chung

$\Rightarrow \Delta ADO=\Delta AEO$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{DAO}=\widehat{EAO}$

ta lại có: $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$ (do $\Delta ABD=\Delta ACE$ cmt)

Mà $\widehat{BAO}=\widehat{BAD}+\widehat{DAO}$

$\widehat{CAO}=\widehat{CAE}+\widehat{EAO}$

$\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\Rightarrow AO$ là phân giác $\widehat{BAC}$ (đpcm)

Bài 9: a) Xét $\Delta$ vuông $ AHB$ và $\Delta$ vuông $ AHC$ có:

$AH$ chung

$\widehat{ABH}=\widehat{ACH}$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)

$\Rightarrow\Delta AHB=\Delta AHC$ (cạnh huyền-góc nhọn) (đpcm)

b) $\Delta AHB=\Delta AHC\Rightarrow \widehat{MAH}=\widehat{NAH}$ (hai cạnh tương ứng)

$AH$ chung

$\Rightarrow \Delta AHM=\Delta AHN$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow AM=AN$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow \Delta AMN$ cân đỉnh A (đpcm)

c) Do $\Delta AMN$ cân đỉnh A nên $\widehat{AMN}=\dfrac{180^o-\widehat A}{2}$

$\Delta ABC$ cân đỉnh A nên $\widehat{ABC}=\dfrac{180^o-\widehat A}{2}$

$\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ mà chúng ở vị trí đồng vị nên $MN//BC$ (đpcm)

d) $\Delta AHM=\Delta AHN(cmt)\Rightarrow HM=HN$ (hai cạnh tương ứng)

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $AHN$ có: $HN^2=AH^2-AN^2$

$\Delta$ vuông $MBH$ có: $HM^2=BH^2-BM^2$

$\Rightarrow AH^2-AN^2=BH^2-BM^2\Rightarrow AH^2+BM^2=AN^2+BH^2$ (đpcm)

Bài 10: a) Do $BD\bot d$ và $CE\bot d\Rightarrow BD//CE$ (do cùng vuông góc với $d$)

b) Ta có $d$ và $BC$ không có điểm chung $\Rightarrow d//BC$ có $BD\bot d\Rightarrow BD\bot BC\Rightarrow\widehat{DBC}=90^o$

$CE\bot d\Rightarrow CE\bot CB\Rightarrow\widehat{ECB}=90^o$

$\Rightarrow \widehat{DBA}=\widehat{ECA}=90^o-\widehat{ABC}$

$=90^o-\widehat{ACB}=90^o-45^o=45^o$

Xét $\Delta$ vuông $ADB$ và $\Delta $ vuông $AEC$ có:

$AB=AC$ (giả thiết)

$\widehat{DBA}=\widehat{ECA}$ (cmt)

$\Rightarrow\Delta ADB=\Delta AEC$ (cạnh huyền-góc nhọn) (đpcm)

c) $\Delta ADB\bot D$ có $\widehat {DBA}=45^o$ nên $\Rightarrow\widehat{DAB}=45^o$ (tính chất tổng 3 góc trong tam giác)

$\Rightarrow\Delta ADB$ vuông cân đỉnh D nên $AD=BD$

tương tự $\Delta AEC$ vuông cân đỉnh E nên $AE=CE$

Nên $DE=AD+AE=BD+CE$ (đpcm)

Bài 11: a) Theo tính chất tổng 3 góc trong một tam giác, $\Delta AOB$ có:

$\widehat O+\widehat A+\widehat B=180^o$

$\Rightarrow\widehat O=180^o-(\widehat A+\widehat B)=180^o-(60^o+60^o)=60^o$

$\Rightarrow\Delta AOB$ có $\widehat O=\widehat A=\widehat B=60^o\Rightarrow \Delta AOB$ đều. (đpcm)

b) $\Delta AOB$ đều nên $OA=OB=AB$

Mà $OA=AC+CO$

$AB=AM+MB$

$AC=AM$ (do $\Delta MAC$ đều)

$\Rightarrow CO=MB=MD$ (đpcm)

$OB=OD+DB$

$AB=AM+MB$

$DB=MD$ (do $\Delta MBD$ đều)

$\Rightarrow OD=AM=CM$ (đpcm)

c) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta OAD$ có:

$AB=OA$ (do $\Delta AOB$ đều cmt)

$\widehat{CAB}=\widehat{DOA}=60^o$

$AC=OD$ (=CM)

$\Rightarrow\Delta ABC=\Delta OAD$ (c.g.c)

$\Rightarrow BC=AD$ (đpcm)

d) Theo tính chất góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó ta có:

$\widehat{CEA}=\widehat{EAB}+\widehat{EBA}$

mà $\widehat{EBA}=\widehat{CBA}=\widehat{DAO}$ (hai góc tương ứng do $\Delta ABC=\Delta OAD$ cmt)

$\Rightarrow \widehat{CEA}=\widehat{EAB}+\widehat{DAO}=\widehat{OAB}=60^o$

Bài 12: a) Xét $\Delta MAB$ và $\Delta MDC$ có:

$MA=MD$ (giả thiết)

$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (đối đỉnh)

$MB=MC$ (do giả thiết cho M là trung điểm cạnh BC)

$\Rightarrow \Delta MAB=\Delta MDC$ (c.g.c)

$\Rightarrow AB=DC$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

và $\widehat{MAB}=\widehat{MDC}$ (hai góc tương ứng)

hay $\widehat{DAB}=\widehat{ADC}$ mà chúng ở vị trí so le trong nên $AB//DC$ (đpcm)

b) Do $AB//DC$ (cmt) mà $AB\bot AC\Rightarrow DC\bot AC\Rightarrow\widehat{DCA}=90^o$

Xét 2 tam giác vuông $\Delta ABC$  và $\Delta CDA$ có:

$AB=CD$ (cmt)

$AC$ chung

$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta CDA$ (hai cạnh góc vuông) (đpcm)

c)  Xét hai tam giác vuông $\Delta ABC$ và $\Delta ABE$ có:

$AB$ chung

$AC=AE$ (giả thiết)

$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta ABE$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{AEB}$ (hai góc tương ứng)

mà $\Delta ABC=\Delta CDA\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{CAD} $ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow\widehat{AEB}=\widehat{CAD}$mà chúng ở vị trí đồng vị nên $AD//EB$ (đpcm)

d) Ta có nếu $AC=\dfrac{BC}{2}=CM$

$\Delta ABC=\Delta CDA\Rightarrow AD=BC\dfrac{AD}{2}=\dfrac{BC}{2}\Rightarrow AM=CM=AC$

$\Rightarrow\Delta ACM$ đều $\Rightarrow\widehat{ACM}=60^o$

Hay $\widehat{ACB}=60^o$

Vậy nếu $\Delta ABC\bot A$ có $\widehat{ACB}=60^o$ thì $AC=\dfrac{BC}{2}$

e) Xét $\Delta OAM$ và $\Delta OBE$ có:

$OA=OB$ (giả thiết)

$\widehat{OAD}=\widehat{OBE}$ (so le trong)

$AD=EB$ (=BC)

$\Rightarrow \Delta OAM=\Delta OBE$ (c.g.c)

$\Rightarrow\widehat{AOD}=\widehat{BOE}$ (hai góc tương ứng)

mà chúng ở vị trí đối đỉnh có A, O, B thẳng hàng nên E, D, M thẳng hàng (đpcm).