1. Ta có: $\widehat{AMO}=90^o$ (do $AM$ là tiếp tuyến của (O))
$\Rightarrow M$ thuộc đường tròn đường kính $(AO)$ (1)
$\widehat{ANO}=90^o$ (do $AN$ là tiếp tuyến đường tròn $(O)$)
$\Rightarrow N$ thuộc đường tròn đường kính $(AO)$ (1)
Do $I$ là trung điểm của dây cung $BC$ nên $OI\bot CB\Rightarrow\widehat{OIA}=90^o$
$\Rightarrow I$ thuộc đường tròn đường kính $(AO)$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $A, M, O, I, N$ thuộc đường tròn đường kính $(AO)$
2. Xét $\Delta AMB$ và $\Delta ACM$ có:
$\widehat{A}$ chung
$\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MB)
$\Rightarrow\Delta AMB\sim\Delta ACM$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AM}$
$\Rightarrow AM^2=AB.AC$
3. Ta có: $BE//AM$ $(\bot OM)$
$\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{EBI}$ (hai góc ở vị trí đồng vị)
$\widehat{MAB}=\widehat{MNI}$ (do O, I, N, A, M nội tiếp câu 1, góc nội tiếp cùng chắn cung MI)
$\Rightarrow\widehat{EBI}=\widehat{MNI}$
$\Rightarrow B,N,I,E$ cùng thuộc một đường tròn
$\Rightarrow\widehat{EIB}=\widehat{ENB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EB)
mà $\widehat{ENB}=\widehat{MCB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MB)
$\Rightarrow \widehat{EIB}=\widehat{MCB}$ mà chúng ở vị trí đồng vị nên $IE//CM$
4. Ta gọi $H$ là trung điểm cạnh $OA$, $D$ là trọng tâm $\Delta OAM$
$\Rightarrow\dfrac{MD}{MH}=\dfrac{MG}{MI}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow GD//IH\Rightarrow \dfrac{GD}{IH}=\dfrac{2}{3}$
mà $\Delta OAI\bot I, H$ là trung điểm ứng với cạnh huyền nên $HI=\dfrac{OA}{2}$
$\Rightarrow GD=\dfrac{2}{3}.IH=\dfrac23.\dfrac12.OA=\dfrac{OA}{3}$
Mà $\Delta OAM$ cố định nên D cố định, $OA$ cố định
suy ra $G$ cố định, $G$ thuộc đường tròn tâm D, bánh kính $\dfrac{OA}3$.
