Giải thích các bước giải:
Ta có:
$6a^{2} + 8ab + 11b^{2} = \left ( 2a + 3b \right )^{2} + 2\left ( a - b \right )^{2} \geq \left ( 2a + 3b \right )^{2}$
$\to \dfrac{a^{2} + 3ab + b^{2}}{\sqrt{6a^{2} + 8ab + 11b^{2}}} \leq \dfrac{a^{2} + 3ab + b^{2}}{2a + 3b} \leq \dfrac{3a + 2b}{5}$
Tương tự ta có:
$\dfrac{b^{2} + 3bc + c^{2}}{\sqrt{6b^{2} + 8bc + 11c^{2}}} \leq \dfrac{3b + 2c}{5}$
$\dfrac{c^{2} + 3ca + a^{2}}{\sqrt{6c^{2} + 8ca + 11a^{2}}} \leq \dfrac{3c + 2a}{5}$
Suy ra: $\dfrac{a^{2} + 3ab + b^{2}}{\sqrt{6a^{2} + 8ab + 11b^{2}}} + \dfrac{b^{2} + 3bc + c^{2}}{\sqrt{6b^{2} + 8bc + 11c^{2}}} + \dfrac{c^{2} + 3ca + a^{2}}{\sqrt{6c^{2} + 8ca + 11a^{2}}} \leq \dfrac{3a + 2b}{5} + \dfrac{3b + 2c}{5} + \dfrac{3c + 2a}{5} = a + b + c$
Dễ dàng chứng minh được $\left ( a + b + c \right )^{2} \leq 3\left ( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right ) = 9$
$\to a + b + c \leq 3$
$\to \dfrac{a^{2} + 3ab + b^{2}}{\sqrt{6a^{2} + 8ab + 11b^{2}}} + \dfrac{b^{2} + 3bc + c^{2}}{\sqrt{6b^{2} + 8bc + 11c^{2}}} + \dfrac{c^{2} + 3ca + a^{2}}{\sqrt{6c^{2} + 8ca + 11a^{2}}} leq 3$
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = 1$
