$P=\frac{\sqrt[]{a}+7}{\sqrt[]{a}+2}=$ $\frac{\sqrt[]{a}+2+5}{\sqrt[]{a}+2}=1+$ $\frac{5}{\sqrt[]{a}+2}$
Để $P$ nguyên $⇔$$\frac{5}{\sqrt[]{a}+2}∈Z$
$⇒\sqrt[]{a}+2∈Ư(5)=${$±1;±5$}
$\sqrt[]{a}+2=1⇒\sqrt[]{a}=-1$ (loại)
$\sqrt[]{a}+2=-1⇒\sqrt[]{a}=-3$ (loại)
$\sqrt[]{a}+2=5⇒\sqrt[]{a}=3⇒a=9(tm)$
$\sqrt[]{a}+2=-5⇒\sqrt[]{a}=-7$ (loại)
Vậy $S=${$9$}