$A=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{18.19.20}$
$=\frac{1}{2}(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{18.19}-\frac{1}{19.20})$
$=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{19.20})$
$=\frac{1}{2}.\frac{189}{380}$
$=\frac{189}{760}$