Cho \(a,\,\,b\) là các số thực dương thỏa mãn \(a\left( {2a - 1} \right) + b\left( {2b - 1} \right) = 2ab.\)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(F = \dfrac{{{a^3} + 2020}}{b} + \dfrac{{{b^3} + 2020}}{a}.\)A.\(2021\)B.\(2020\)C.\(4040\)D.\(4042\)

thinh1503

2 năm trước

Cho \(a,\,\,b\) là các số thực dương thỏa mãn \(a\left( {2a - 1} \right) + b\left( {2b - 1} \right) = 2ab.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(F = \dfrac{{{a^3} + 2020}}{b} + \dfrac{{{b^3} + 2020}}{a}.\)
A.\(2021\)
B.\(2020\)
C.\(4040\)
D.\(4042\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 17 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

sansfrisk2015

Đáp án đúng: D

Giải chi tiết:\(\begin{array}{l}a\left( {2a - 1} \right) + b\left( {2b - 1} \right) = ab\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} - \left( {a + b} \right) = ab\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - \left( {a + b} \right) = ab\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right) - \left( {a + b} \right) = 6ab\\ \Leftrightarrow 2{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) = 6ab \le 6.\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{3}{2}{\left( {a + b} \right)^2}\\ \Rightarrow 2{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) - \dfrac{3}{2}{\left( {a + b} \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le a + b \le 2\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}F = \dfrac{{{a^3} + 2020}}{b} + \dfrac{{{b^3} + 2020}}{a}\\ = \dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{2020}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{a} + \dfrac{{2020}}{a}\\ = \left( {\dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{a}} \right) + 2020\left( {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{{a^4}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^4}}}{{ab}}} \right) + 2020\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\end{array}\)
Áp dụng các BĐT cơ bản \(\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\) và \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{{a^4}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^4}}}{{ab}}} \right) + 2020\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}{{2ab}} + 2020.\dfrac{4}{{a + b}}\\ \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{8080}}{{a + b}} = {a^2} + {b^2} + \dfrac{{8080}}{{a + b}}\\ \ge \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} + \dfrac{{8080}}{{a + b}}\\ = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} + \dfrac{4}{{a + b}} + \dfrac{4}{{a + b}} + \dfrac{{8072}}{{a + b}}\\ \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}.\dfrac{4}{{a + b}}.\dfrac{4}{{a + b}}}} + \dfrac{{8072}}{2} = 4042\\ \Rightarrow F \ge 4042\end{array}\)
\( \Rightarrow {F_{\min }} = 4042\) khi \(a = b = 1\).
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hai nửa đường tròn đường kính \(AB\) và \(BC\) tiếp xúc nhau tại \(B\) (xem hình vẽ bên), biết \(AB = BC = 18,\,CD\) cắt nửa đường tròn \(\left( {O'} \right)\) tại \(E,\) gọi \(H\) là trung điểm của \(CE,\,\,F\) là điểm chính giữa của cung \(CE.\) Tính \(HF.\)
A.\(HF = 2.\)
B.\(HF = 6.\)
C.\(HF = 12.\)
D.\(HF = 3.\)

Khi Chiến tranh thế giới thứ hai bùng nổ, Đảng Cộng sản Đông Dương xác định mục tiêu trước mắt của cách mạng là
A.chống phát xít, chống chiến tranh, đòi tự do, cơm áo, hòa bình.
B.chống chế độ phản động thuộc địa, đòi cải thiện đời sống.
C.lật đổ chế độ phong kiến, giành ruộng đất cho dân cày.
D.đánh đổ đế quốc và tay sai, làm cho đất nước hoàn toàn độc lập.

Hội nghị lần thứ 8 Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Đông Dương (5-1941) đề ra chủ trương khởi nghĩa từng phần vì
A.lực lượng cách mạng ở các địa phương có sự đồng đều.
B.lực lượng của kẻ thù có tính ổn định ở mọi thời điểm.
C.trong hàng ngũ kẻ thù luôn có sự chuyển hóa về mâu thuẫn.
D.mâu thuẫn chủ yếu ở các địa phương có sự khác nhau.

Sự phát triển về tư tưởng của tư sản Việt Nam giai đoạn 1925 - 1930 so với giai đoạn 1919 - 1925 được biểu hiện ở nội dung nào sau đây?
A.Nhận thức được yêu cầu của lịch sử dân tộc.
B.Đòi quyền lợi kinh tế và chính trị cho giai cấp.
C.Chú trọng tuyên truyền lí luận cách mạng.
D.Chú trọng lôi kéo quần chúng công nông.

Cao trào kháng Nhật cứu nước của nhân dân Việt Nam diễn ra trong bối cảnh
A.thực dân Pháp và phát xít Nhật bắt đầu câu kết bóc lột nhân dân Việt Nam.
B.phát xít Nhật tuyên bố đầu hàng quân Đồng minh vô điều kiện.
C.quân đội các nước Đồng minh lũ lượt kéo vào nước ta giải giáp quân Nhật.
D.phát xít Nhật trở thành kẻ thù chính của nhân dân Đông Dương.

Trong phong trào dân tộc dân chủ 1919-1925, lực lượng xã hội nào ở Việt Nam đã thành lập tổ chức Đảng Thanh niên?
A.Tiểu tư sản.
B.Tư sản dân tộc.
C.Nông dân.
D.Công nhân.

Cao trào “Tìm Mĩ mà đánh, lùng ngụy mà diệt” của quân dân miền Nam Việt Nam diễn ra đầu tiên trong cuộc chiến đấu chống chiến lược
A.“Chiến tranh đơn phương”.
B.“Chiến tranh cục bộ”.
C.“Việt Nam hóa chiến tranh”.
D.“Chiến tranh đặc biệt”.

Sự thành lập nước Cộng hòa Ấn Độ (1-1950)
A.đã chấm dứt ách thống trị của chủ nghĩa thực dân cũ trên toàn thế giới.
B.đã tạo điều kiện đưa đất nước đi lên xây dựng chủ nghĩa xã hội.
C.đánh dấu sự sụp đổ hoàn toàn của chủ nghĩa thực dân Anh.
D.có ảnh hưởng to lớn đến phong trào giải phóng dân tộc trên thế giới.

Bản “Yêu sách của nhân dân An Nam” mà Nguyễn Ái Quốc gửi đến Hội nghị Véc-xai (18-6-1919) đòi Chính phủ Pháp và các nước đồng minh thừa nhận quyền
A.độc lập.
B.thống nhất.
C.chủ quyền.
D.tự do.

Quốc gia nào có tốc độ tăng trưởng kinh tế bình quân hàng năm là 10,8 % trong khoảng thời gian từ năm 1960 đến năm 1969?
A.Mĩ.
B.Trung Quốc.
C.Ấn Độ.
D.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến