Đáp án đúng: B

Phương pháp giải:
a) Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( * \right)\) của hai đồ thị hàm số.
Phương trình \(\left( * \right)\) có \(\Delta ' > 0\,\,\forall m\) \( \Rightarrow \) \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,\,B\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right).\)
Áp dụng hệ thức Vi-et để tính \({y_1} + {y_2}.\)
b) Áp dụng hệ thức Vi-et, biến đổi biểu thức bài cho để tìm \(m.\)
Giải chi tiết:a) Chứng minh đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,\,B\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) và tính \({y_1} + {y_2}\) theo \(m.\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) ta có:
\({x^2} = 2mx + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Phương trình \(\left( * \right)\) có \(\Delta ' = {m^2} + 3 > 0\,\,\,\forall m\) .
\( \Rightarrow \) Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)
Hay với mọi \(m\) thì đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right).\)
Ta có \(A,\,\,B \in d\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = 2m{x_1} + 3\\{y_2} = 2m{x_2} + 3\end{array} \right.\)
Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} =  - 3\end{array} \right..\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{y_1} + {y_2} = 2m{x_1} + 3 + 2m{x_2} + 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 6\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2m.2m + 6\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{m^2} + 6.\end{array}\)
Vậy \({y_1} + {y_2} = 4{m^2} + 6.\)
b) Tìm \(m\) sao cho \({y_1} - 4{y_2} = {x_1} - 4{x_2} + 3{x_1}{x_2}.\)
Với mọi \(m\) thì đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};\,\,2m{x_1} + 3} \right)\) và \(B\left( {{x_2};\,\,2m{x_2} + 3} \right).\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} =  - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có:
      \({y_1} - 4{y_2} = {x_1} - 4{x_2} + 3{x_1}{x_2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2m{x_1} + 3 - 4\left( {2m{x_2} + 3} \right) = {x_1} - 4{x_2} + 3.\left( { - 3} \right)\\ \Leftrightarrow 2m{x_1} + 3 - 8m{x_2} - 12 = {x_1} - 4{x_2} - 9\\ \Leftrightarrow 2m{x_1} - {x_1} - 8m{x_2} + 4{x_2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right){x_1} - 4\left( {2m - 1} \right){x_2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right)\left( {{x_1} - 4{x_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m - 1 = 0\\{x_1} - 4{x_2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{2}\\{x_1} = 4{x_2}\end{array} \right.\end{array}\)
Với \({x_1} = 4{x_2}\), thay vào (2) ta có: \(4x_2^2 =  - 3\) \( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.
Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.