Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
- Đưa bất phương trình đã cho về dạng tích.
- Nhận xét dấu các thừa số trong tích, đưa bất phương trình về dạng \(m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \subset \left[ {4; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {min}\limits_{\left[ {4; + \infty } \right)} f\left( x \right)\).
Giải chi tiết:Phương trình đã cho xác định trên \(\left[ {4; + \infty } \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{2^{x + 1}}{\log _4}x - m{.2^x} - {\log _2}x + m \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {2.2^x}.\dfrac{1}{2}{\log _2}x - m{.2^x} - {\log _2}x + m \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {2^x}.{\log _2}x - m{.2^x} - {\log _2}x + m \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}x\left( {{2^x} - 1} \right) - m\left( {{2^x} - 1} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{2^x} - 1} \right)\left( {{{\log }_2}x - m} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Vì hàm số \(y = {2^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), do đó hàm số \(y = {2^x}\) đồng biến trên \(\left[ {4; + \infty } \right)\).
\( \Rightarrow {2^x} \ge {2^4}\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right) \Rightarrow {2^x} - 1 \ge 15 > 0\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\).
Khi đó
\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow {\log _2}x - m \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le {\log _2}x\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {4; + \infty } \right)} {\log _2}x\end{array}\)
Lại có hàm số \(y = {\log _2}x\) đồng biến trên \(\left[ {4; + \infty } \right)\) nên \({\log _2}x \ge {\log _2}4 = 2\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {4; + \infty } \right)} {\log _2}x = 2\).
Suy ra \(m \le 2\). Mà \(m\) là số nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1;2} \right\}\).
Vậy có \(2\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C.
