Cho ba số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(abc = 10\). Biết giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = 5\log a.\log b + 2\log b.\log c + \log c.\log a = \dfrac{m}{n}\) với \(m,\,\,n\) nguyên dương và \(\dfrac{m}{n}\) tối giản. Tổng \(m + n\) bằng:A.\(13\)B.\(16\)C.\(7\)D.\(10\)

havu_giomuahe

2 năm trước

Cho ba số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(abc = 10\). Biết giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = 5\log a.\log b + 2\log b.\log c + \log c.\log a = \dfrac{m}{n}\) với \(m,\,\,n\) nguyên dương và \(\dfrac{m}{n}\) tối giản. Tổng \(m + n\) bằng:
A.\(13\)
B.\(16\)
C.\(7\)
D.\(10\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 37 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

FMTMATH

Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:
- Đặt \(x = \log a,\,\,y = \log b,\,\,z = \log c\), từ giả thiết suy ra \(x + y + z = 1\) và đưa biểu thức \(F\) về hai ẩn \(x,\,\,y\).
- Biến đổi \(F\) về dạng \(F = - \left( {{A^2} + {B^2} + C} \right) \Rightarrow F \le - C\).
- Đồng nhất hệ số tìm \(m,\,\,n\) và tính tổng \(m + n\).
Giải chi tiết:Theo bài ra ta có: \(abc = 10 \Leftrightarrow \log \left( {abc} \right) = \log 10 = 1\) \( \Rightarrow \log a + \log b + \log c = 1\).
Đặt \(x = \log a,\,\,y = \log b,\,\,z = \log c\) ta có \(x + y + z = 1\) và
\(\begin{array}{l}F = 5xy + 2yz + zx\\F = 5xy + z\left( {2y + x} \right)\\F = 5xy + \left( {1 - x - y} \right)\left( {2y + x} \right)\\F = 5xy + 2y - 2xy - 2{y^2} + x - {x^2} - xy\\F = 2xy + 2y - 2{y^2} + x - {x^2}\\F = - 2{y^2} + 2y\left( {x + 1} \right) + x - {x^2}\\F = - \dfrac{1}{2}\left( {4{y^2} - 4y\left( {x + 1} \right) + {{\left( {x + 1} \right)}^2} + {x^2} - 4x - 1} \right)\\F = - \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {2y - x - 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2} - 5} \right]\end{array}\)
Vì \({\left( {2y - x - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\) \( \Rightarrow {\left( {2y - x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} - 5 \ge - 5\).
\( \Rightarrow F \le \dfrac{5}{2}\) \( \Rightarrow {F_{\max }} = \dfrac{5}{2}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y - x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow z = 1 - x - y = - \dfrac{5}{2}\).
Khi đó ta suy ra \(m = 5,\,\,n = 2\).
Vậy \(m + n = 5 + 2 = 7.\)
Chọn C.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Căn cứ vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 21, trung tâm công nghiệp nào sau đây có giá trị sản xuất công nghiệp đạt trên 120 nghìn tỷ đồng?
A.Hà Nội
B.Phúc Yên.
C.Bắc Ninh.
D.Hải Phòng.

Địa hình vùng núi Đông Bắc chủ yếu có hướng
A.vòng cung
B.tây bắc - đồng nam.
C.đông - tây.
D.đông nam

Căn cứ vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 10, sống Xrê Pốk thuộc hệ thống sông
A.Thu Bồn
B.Đồng Nai.
C.Thái Bình
D.Mê Công.

Ở nước ta, Tín phong hoạt động vào thời gian nào sau đây?
A.Cuối mùa hạ
B.Đầu mùa hạ.
C.Quanh năm
D.Mùa đông.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {f\left( {\cos x} \right)} \right) = m\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)?
A.\(2\)
B.\(4\)
C.\(5\)
D.\(3\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\). Số điểm cực đại của hàm số là:
A.\(1\)
B.\(2\)
C.\(3\)
D.\(4\)

Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - {x^2} - {2^{2020}}\) với trục hoành là:
A.\(4\)
B.\(0\)
C.\(3\)
D.\(2\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{mx + 9}}{{4x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\)?
A.\(5\)
B.\(11\)
C.\(6\)
D.\(7\)

Cắt hình nón bởi một mặt phẳng qua trục thu được thiết diện là một tam giác vuông có diện tích bằng 8. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng:
A.\(16\sqrt 2 \pi \)
B.\(8\sqrt 2 \pi \)
C.\(4\sqrt 2 \pi \)
D.\(2\sqrt 2 \pi \)

Cho mặt cầu có bán kính \(R = 3.\) Diện tích mặt cầu đã cho bằng:
A.\(9\pi \)
B.\(18\pi \)
C.\(24\pi \)
D.\(36\pi \)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến