a, 

N nằm trên phân giác $\widehat{xOy}$ nên cách đều Ox, Oy

=> NA= NB 

b,  

$\Delta$ ONA và $\Delta$ ONB có: 

$\widehat{OAN}= \widehat{OBN}= 90^o$ 

ON chung 

AN= NB 

=> $\Delta$ OAN= $\Delta$ OBN (ch.cgv)

=> OA= OB

=> $\Delta$ OAB cân tại O 

c, 

$\Delta$ AND và $\Delta$ BNE có: 

$\widehat{DAN}= \widehat{EBN}= 90^o$ 

$\widehat{AND}= \widehat{BNE}$ (đối đỉnh)

=> AN= NB

=> $\Delta$ AND= $\Delta$ BNE (g.c.g)(*)

=> ND= NE 

d, 

(*) => AD= BE         (1) 

Mà OA= OB             (2) 

(1)+(2) => OD= OE

=> $\Delta$ ODE cân tại O 

$\Delta$ ODE cân tại O có ON phân giác nên cũng là đường cao 

=> ON $\bot$ DE

$\text{ a) Xét tam giác OBN và tam giác OAN ta có: }$

$\text{góc OBN = góc OAN = 90 độ }$

$\text{góc BON = góc AON ( vì ON là tia phân giác) }$

$\text{ON chung }$

$\text{=> tam giác OBN = tam giác OAN ( cạnh huyền  - góc nhọn ) }$

$\text{=>  NA = NB ( 2 cạnh tương ứng) }$

.

$\text{b) Vì tam giác OBN = tam giác OAN (theo câu a) }$

$\text{=> OB = OA ( 2 cạnh tương ứng) }$

$\text{=>Tam giác OAB là tam giác cân }$

.

$\text{c) Vì tam giác OBN = tam giác OAN (theo câu a) }$

$\text{=> BN = AN( 2 cạnh tương ứng) }$

$\text{Xét tam giác BNE và tam giác AND ta có: }$

$\text{BN = AN  ( chứng minh trên) }$

$\text{góc BNE  =góc AND ( đối đỉnh) }$

$\text{góc NAD = gó NBE = 90 độ }$

$\text{=> tam giác BNE = tam giác AND ( góc cạnh góc) }$

$\text{=> ND = NE ( 2 cạnh tương ứng) }$

.

$\text{d) Vì tam giác BNE = tam giác AND ( câu c) }$

$\text{=> BE = AD }$

$\text{mà OB = OA ( chứng minh trên) }$

$\text{=> OB + BE = OA + AD }$

$\text{<=>     OE   =    OD }$

$\text{Gọi giao điểm ON và ED là J }$

$\text{ta xét tam giác OEJ và tam giác ODJ ta có: }$

$\text{OE = OD ( chứng minh trên) }$

$\text{EOJ = góc DOJ ( vì ON là tia phân giác) }$

$\text{OJ chung }$

$\text{=> tam giác OEJ = tam giác ODJ (c-g-c) }$

$\text{=> góc OJE = góc OJD  (1) }$

$\text{mà góc OJE + góc OJD = 180 độ ( vì 3 điểm E; J; D thẳng hàng)    (2) }$

$\text{Từ (1) và (2)   => góc OJE = góc OJD = 180 :2=90 độ }$

$\text{=> OJ vuông góc ED }$

$\text{hay ON vuông góc ED }$