Giải thích các bước giải:
a,
Phương trình đã cho có 1 nghiệm khi và chỉ khi:
\[\begin{array}{l}
Δ= 0\\
\Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4.\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 - 4{m^2} - 4 = 0\\
\Leftrightarrow 4m - 3 = 0\\
\Leftrightarrow m = \frac{3}{4}
\end{array}\]
b,
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
\(Δ > 0 \Leftrightarrow 4m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{4}\)
Khi đó, pt có 2 nghiệm thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\
{x_1}.{x_2} = {m^2} + 1
\end{array} \right.\)
Theo giả thiết ta có:
\(\begin{array}{l}
{x_1} - 2{x_2} = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 2{x_2}\\
\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\
{x_1}.{x_2} = {m^2} + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3{x_2} = 2m + 1\\
2{x_2}^2 = {m^2} + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_2} = \frac{{2m + 1}}{3}\\
{x_2}^2 = \frac{{{m^2} + 1}}{2}
\end{array} \right.\\
{x_2}^2 = \frac{{{m^2} + 1}}{2}\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{{2m + 1}}{3}} \right)^2} = \frac{{{m^2} + 1}}{2}\\
\Leftrightarrow \frac{{4{m^2} + 4m + 1}}{9} = \frac{{{m^2} + 1}}{2}\\
\Leftrightarrow 8{m^2} + 8m + 2 = 9{m^2} + 9\\
\Leftrightarrow {m^2} - 8m + 7 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = 7
\end{array} \right.\left( {t/m} \right)
\end{array}\)
