Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:
a) \({d_{\left[ {O;\left( {ABCD} \right)} \right]}} = SA\)
    Xác định góc giữa (SBC) và (ABCD) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
    Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính SA.
b) Trong (SAM) (với M là trung điểm của BC) dựng \(AH \bot SM\), chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính AH.
c) Gọi \(O = AC \cap BD\). Trong (SAO) kẻ \(AK \bot SO\), chứng minh \(AK \bot \left( {SBD} \right)\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính AK.
Giải chi tiết:
a) \({d_{\left[ {O;\left( {ABCD} \right)} \right]}} = SA\).
Gọi \(O = AC \cap BD\), \(BD = a \Rightarrow BO = \dfrac{a}{2}\).
+ \(\Delta ABC\): \(AB = BC\) (do ABCD là hình thoi), \(\angle ABC = {180^0} - \angle BAD = {60^0}\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) đều.
Gọi M là trung điểm BC \( \Rightarrow BO = AM = \dfrac{a}{2}\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\\AM \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SMA = {60^0}\).
+ \(\Delta SAM\): \(SA = AM.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \({d_{\left[ {S;\left( {ABCD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
b) Trong (SAM) kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {SAM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).
\( \Rightarrow {d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = AH\).
+ \(\Delta SAM\): \(AH = \dfrac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
c) Trong (SAO) kẻ \(AK \bot SO\,\,\left( {K \in SO} \right)\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AK\)
+ \(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SO\\AK \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SBD} \right)\).
\( \Rightarrow {d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = AK\).
+ \(\Delta ABC\) đều cao \(BO = \dfrac{a}{2}\); \(BO = \dfrac{{AC\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AC = \dfrac{{2BO}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
+ \(\Delta SAO\):  \(AK = \dfrac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} }} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{{20}}\).
Vậy \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{{20}}\).