$u_n=\frac{3n}{n+1}$
Xét hiệu: $u_{n+1}-u_n$
$\frac{3(n+1)}{n+2}-\frac{3n}{n+1}$
$=\frac{3(n+1)^2-3n(n+2)}{(n+2)(n+1)}$
$=\frac{3(n^2+2n+1)-3n^2-6n}{(n+2)(n+1)}$
$=\frac{3}{(n+2)(n+1)}$
Vì $n\in{N^*} ⇒(n+2)(n+1)>0 ∀n∈N^*$
$⇒\frac{3}{(n+2)(n+1)}>0 ∀n∈N^*$
$⇒u_{n+1}>u_n$
$⇒u_n$ là dãy tăng và bị chăn dưới
bởi $u_1=\frac{3}{2}$
$⇒\frac{3}{2}≤u_n$
Lại có: $u_n=\frac{3n}{n+1}=\frac{3(n+1)-3}{n+1}$
$=3-\frac{3}{n-1}<3∀n∈N^*$
$⇒$Dãy bị chặn trên bởi 3
$⇒\frac{3}{2}≤n<3$
