Cho hai số dương \(x > 0,y > 0\) thỏa mãn \(x + y \le 1.\)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} + 4xy.\)A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)

hunter

2 năm trước

Cho hai số dương \(x > 0,y > 0\) thỏa mãn \(x + y \le 1.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} + 4xy.\)
A.\(9\)
B.\(10\)
C.\(11\)
D.\(12\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 25 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

tiennobi01

Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:
Chọn điểm rơi và sử dụng hệ quả của bất đẳng thức AM-GM.
Giải chi tiết:Trước tiên, theo bất đẳng thức AM-GM:
Với \(a,b > 0:\) \(\left\{ \begin{array}{l}a + b \ge 2\sqrt {ab} \\\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{2}{{\sqrt {ab} }}\end{array} \right.,\) nhân theo vế hai bất đẳng thức này ta được:
\(\left( {a + b} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4 \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\,\,\,\,\left( * \right)\)
Ta có: \(A = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} + 4xy\)\( = \left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}}} \right) + \left( {\frac{1}{{4xy}} + 4xy} \right) + \frac{5}{{4xy}}.\)
Sử dụng hệ quả (*) ta có: \(\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}} \ge \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \ge 4\) (do \(x + y \le 1\) )
Lại có : \(\frac{1}{{4xy}} + 4xy \ge 2\sqrt {\frac{1}{{4xy}}.4xy} = 2.\)
Vì \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 4xy \le {\left( {x + y} \right)^2} \le 1 \Rightarrow \frac{5}{{4xy}} \ge 5.\)
Suy ra \(A \ge 4 + 2 + 5 = 11.\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\xy = \frac{1}{4}\\x + y \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(11\) khi \(x = y = \frac{1}{2}.\)
Chọn C.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Chất nào sau đây dùng làm nhiên liệu, không gây ô nhiễm môi trường:
A.Than
B.Khí Hidro
C.Dầu hỏa
D.Vỏ trấu

Đặc điểm cấu tạo nhụy hoa cải của thực vật Hạt kín và nón cái của thực vật Hạt trần giống nhau là:
A.Đều có đầu nhụy
B.Đều có vòi nhụy
C.Đều có noãn
D.Đều có bầu

Đặc điểm cấu tạo nhụy của hoa (thực vật Hạt kín) và nón (thực vật Hạt trần) giống nhau là:
A.Đều có đầu nhụy
B.Đều có vòi nhụy
C.Đều có noãn
D.Đều có bầu

Hạt của thực vật Hạt kín do thành phần nào biến thành:
A.Nhị hoa
B.Đài hoa
C.Tràng hoa
D.Noãn

Lá của thực vật Hạt kín không có đặc điểm nào sau đây:
A.Lá mọc đối
B.Lá mọc cách
C.Chưa có lá chính thức
D.Lá đơn

Trong các đặc điểm cấu tạo nhị sau đây, đặc điểm nào không phải là đặc điểm giống nhau của nón (thực vật Hạt trần) và hoa (thực vật Hạt kín):
A.Đều có nhị
B.Đều có bao hay túi phấn
C.Đều có chỉ nhị
D.Đều có hạt phấn

Kiểu lá nào sau đây không phải của thực vật Hạt kín:
A.Gân hình mạng
B.Gân hỗn hợp
C.Gân song song
D.Gân hình cung

Bộ phận nào sau đây không có ở thực vật Hạt kín:
A.Thân
B.Lá
C.Rễ
D.Túi bào tử

Đặc điểm cấu tạo nhị của hoa cải thuộc thực vật Hạt kínvà nón cái thuộc thực vật Hạt trần khác nhau là:
A.Hoa bưởi không có bao phấn, nón có bao phấn
B.Hoa bưởi có chỉ nhị, nón không có chỉ nhị
C.Hoa bưởi có nhị, nón không có nhị
D.Hoa bưởi không có hạt phấn, nón có hạt phấn

Đặc điểm nào sau đây không phải của thân thực vật Hạt kín:
A.Chưa có thân chính thức, có mạch dẫn
B.Chưa có thân chính thức, chưa có mạch dẫn
C.Có thân chính thức, có mạch dẫn
D.Có thân chính thức, chưa có mạch dẫn

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến