Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
+) Xác định tiêu điểm của elip \({F_1}\left( {c;\,\,0} \right),\,\,{F_2}\left( { - c;\,\,0} \right)\).
+) Điểm \(N\)thuộc elip và nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông nghĩa là: \(\overrightarrow {{F_1}N} \,.\,\,\overrightarrow {{F_2}N} = 0\)
Giải chi tiết:Ta có: \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 9 - 1 = 8\)\( \Rightarrow c = 2\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow \) Hai tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\) là \({F_1}\left( {2\sqrt 2 ;\,\,0} \right)\) và \({F_2}\left( { - 2\sqrt 2 ;\,\,0} \right)\).
Gọi \(N\left( {x;\,\,y} \right) \in \left( E \right)\) là điểm cần tìm.
\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}N} = \left( {x - 2\sqrt 2 ;\,\,y} \right),\,\,\overrightarrow {{F_2}N} = \left( {x + 2\sqrt 2 ;\,\,y} \right)\)
Theo đề bài, từ \(N\) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông nên ta có: \(\overrightarrow {{F_1}N} \,.\,\,\overrightarrow {{F_2}N} = 0\)
\( \Rightarrow \left( {x - 2\sqrt 2 } \right)\left( {x + 2\sqrt 2 } \right) + {y^2} = 0\)
\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 8 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mặt khác \(N\left( {x;\,\,y} \right) \in \left( E \right)\) nên \(\,\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1 \Rightarrow \,\frac{{{x^2}}}{9} + {y^2} = 1\)\( \Rightarrow {y^2} = 1 - \frac{{{x^2}}}{9}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}{x^2} + 1 - \frac{{{x^2}}}{9} - 8 = 0 \Leftrightarrow \frac{{8{x^2}}}{9} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow 8{x^2} = 63 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{63}}{8} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}\\x = - \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array}\)
+) Với \(x = \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}\) thay vào \({y^2} = 1 - \frac{{{x^2}}}{9}\) ta được: \({y^2} = 1 - \frac{{63}}{{72}} = \frac{1}{8} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\\y = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {N_1}\left( {\frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }};\,\,\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right),\,{N_2}\left( {\frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }};\,\, - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)\)
+) Với \(x = - \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}\) thay vào \({y^2} = 1 - \frac{{{x^2}}}{9}\) ta được: \({y^2} = 1 - \frac{{63}}{{72}} = \frac{1}{8} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\\y = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {N_3}\left( { - \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }};\,\,\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right),\,{N_4}\left( { - \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }};\,\, - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)\)
Vậy có \(4\) điểm thỏa mãn điều kiện đề bài.
Chọn D.
