Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
- Tìm \(a\) để hàm số liên tục tại \(x = - 1\), từ đó rút \(b\) theo \(a\).
- Tính \(f'\left( { - {1^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\), \(f'\left( { - {1^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\) .
- Để hàm số tồn tại đạo hàm tại \(x = - 1\) thì \(f'\left( { - {1^ + }} \right) = f'\left( { - {1^ - }} \right)\).
Giải chi tiết:TXĐ: \(D = \mathbb{R},\,\,x = - 1 \in D\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( { - {x^2} + a} \right) = a - 1 = f\left( { - 1} \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {{x^2} + bx} \right) = 1 - b\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại \(x = - 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow a - 1 = 1 - b \Leftrightarrow a + b = 2\).
Tính đạo hàm tại điểm \(x = - 1\):
\(\begin{array}{l}f'\left( { - {1^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{ - {x^2} + a - \left( { - 1 + a} \right)}}{{x + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{ - {x^2} + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( { - x + 1} \right) = 2\\f'\left( { - {1^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} + bx - \left( { - 1 + a} \right)}}{{x + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} + bx + 1 - a}}{{x + 1}}\end{array}\)
Thay \(a = 2 - b\) ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( { - {1^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} + bx - 1 + b}}{{x + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + b\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x - 1 + b} \right) = b - 2\end{array}\).
Để hàm số có đạo hàm tại \(x = - 1\) thì \(f'\left( { - {1^ + }} \right) = f'\left( { - {1^ - }} \right)\)\( \Leftrightarrow b - 2 = 2 \Leftrightarrow b = 4\)\( \Rightarrow a = -2\).
Vậy \(a = -2,\,\,b = 4\).
Chọn B.
