Ta có: A=$\sqrt{ln2+ln\frac{3}{2}+...+ln\frac{1001}{1000}}$
$=\sqrt{ln2+ln3-ln2+...+ln1001-ln1000}$
$=\sqrt{ln1001}$
B= $\frac{1}{2}+$ $\frac{3}{2^2}+$ $\frac{5}{2^3}+...+$ $\frac{1999}{2^{1000}}$
2B=$1+\frac{3}{2}+\frac{5}{2^2}+....+\frac{1999}{2^{999}}$
⇒2B-B=$1+1+$$\frac{2}{2^2}+$ $\frac{2}{2^3}$ +...+\frac{2}{2^{999}}-\frac{1999}{2^{1000}}$
⇔B=$2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{999}}-\frac{1999}{2^{1000}}$
⇔B=$2+\frac{\frac{1}{2}((\frac{1}{2})^{999}-1)}{\frac{1}{2}-1}-\frac{1999}{2^{1000}}$
⇔B=$3-\frac{2001}{2^{1000}}$
Vậy Tổng= A+B